1. Sendo A(3, 1), B(4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto aos seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno).
2. Calcule a distância entre os pontos A(1, 3) e B(-2, 1).
3. Calcule a distância do ponto P(3, -4) à origem do sistema cartesiano.
4. Calcule a distância entre os pontos A(a - 2, b + 8) e B(a + 4, b).
5. Calcule o perímetro do triângulo ABC, cujos vértices são os pontos A(3, 1), B(-1, 1) e C(-1, 4).
6. Determine o valor real de m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em B. São dados os seus vértices: A(-2, 5), B(2, -1) e C(3, m).
7. Dados os pontos A(x, 3), B(-1, 4) e C(5, 2), obtenha o valor real de x de modo que o ponto A seja equidistante dos pontos B e C.
8. Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5).
9. Determine o ponto P, da bissetriz dos quadrantes pares, que equidista dos pontos A(0, 1) e B(-2, 3).
10. Se o ponto P(x, y) equidista dos pontos A(-3, 7) e B(4, 3), qual é a relação existente entre x e y?
11. Determine as coordenadas dos pontos que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento, sendo A(-1, 7) e B(11, -8).
12. Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).
13. Dados os vértices P(1, 1), Q(3, -4) e R(-5, 2) de um triângulo, calcule o comprimento da mediana que tem extremidade no vértice Q.
14. Dados os vértices consecutivos, A(4, -2) e B(3, -1), de um paralelogramo, e o ponto E(2, 1), interseção de suas diagonais, determine os outros dois vértices.
15. Do triângulo ABC são dados: o vértice A(2, 4), o ponto M(1, 2) médio do lado AB e o ponto N(-1, 1) médio do lado BC. Calcule o perímetro do triângulo ABC.
16. Se M(1, 1), N(0, 3) e P(-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C.
17. O baricentro de um triângulo é o ponto G(5, 1) e dois de seus vértices são A(9, -3) e B(1, 2). Determine o terceiro vértice.
18. O baricentro de um triângulo é o ponto G(2/3, 1/3), o ponto médio do lado BC é N(0, 1/2) e o ponto médio do lado AB é M(1/2, 2). Determine os vértices A, B e C.
19. Determine os vértices B e C de um triângulo equilátero ABC, sabendo que o ponto médio do lado AB é M(√3, 1) e o ponto A é a origem do sistema cartesiano.
20. Num triângulo ABC são dados:
I) O vértice A(-4,3);
II) M(-4, 6) ponto médio de AB;
III) dAC = 8;
IV) dBC = 10.
Obtenha o vértice C do triângulo.
21. Os pontos A(2, 7), B(-3, 0) e C(16, 5) são colineares?
22. Determine y para que os pontos A(3, 5), B(-3, 8) e C(4, y) sejam colineares.
23. Os pontos A(2, -3), B(4, 3) e C(5, k/2) estão numa mesma reta. Determine o valor de k.
24. Se o ponto A(q, -4) pertence à reta que passa pelos pontos B(0, 6) e C(6, 0), determine o valor de q.
25. Se A(0, a), B(a, -4) e C(1, 2), para quais valores reais de a existe o triângulo ABC?
26. Dados A(10, 9) e B(2, 3), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das abscissas.
27. Dados A(3, -1) e B(7, -5), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta o eixo das ordenadas.
28. Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes ímpares.
29. Dados A(1, -5) e B(-1, -9), obtenha o ponto em que a reta AB intersecta a bissetriz dos quadrantes pares.
30. Dados A(-3, 4), B(2, 9), C(2, 7) e D(4, 5), obtenha o ponto P(x, y) de interseção das retas AB e CD.
31. Determine as coordenadas do ponto P(x, y) colinear simultaneamente com os pontos A(0, 3) e B(1, 0) e com os pontos C(1, 2) e D(0, 1).
32. Determine o ponto P da reta AB que está à distância 5 da origem do sistema cartesiano ortogonal. São dados: A(0, -25) e B(-2, -11).
33. Determine na reta AB os pontos equidistantes dos eixos cartesianos. Dados: A(2, 3) e B(-5, 1).
34. (UFF-RJ) Consideres os pontos A(3, 2) e B(8, 6). Determine as coordenadas do ponto P, pertencente ao eixo x, de modo que os segmentos PA e PB tenham o mesmo comprimento.
35. (EEM-SP) Determine as coordenadas dos vértices de um triângulo, sabendo que os pontos médios de seus lados são M(-2, 1), N(5, 2) e P(2, -3).
36. (PUC-MG) Calcule o valor de t, sabendo que os pontos A(1/2, t), B(2/3, 0) e C(-1, 6) são colineares.
37. (FEI-SP) Os pontos A(0, 1), B(1, 0) e C(p, q) estão numa mesma reta. Nessas condições, calcule o valor de p em função de q.
38. Sabendo que o ponto P(6, 4k - 1) pertence ao eixo das abscissas, calcule o valor de k.
39. Para quais valores reais de x o ponto P(2x - 4, 5x - 15) pertence ao quarto quadrante?
40. Determine o ponto P equidistante dos pontos A(6, 8), B(2, 4) e C(0, -2).
41. Determine, na bissetriz do 2° e do 4° quadrantes, o ponto P equidistante dos pontos A(3, 2) e B(-4, -1).
42. Se A(5, 1) e B(5, 3) são vértices de um triângulo equilátero ABC, calcule as coordenadas do vértice C.
43. Determine m, sabendo que o ponto P(3, m) dista 10 unidades do ponto A(-3, 6).
44. (MACK-SP) No triângulo ABC, A(1, 1) é um dos vértices, N(5, 4) é o ponto médio do lado BC e M(4, 2) é o ponto médio do lado AB. Calcule as coordenadas dos vértices B e C e o baricentro do triângulo.
45. (MACK-SP) Determine o ponto P distante 10 unidades do ponto A(-3, 6) com abscissa igual a 3.
GABARITO:
1. Triângulo isósceles
2. dAB = √13
3. dPO = 5
4. dAB = 10
5. 12
6. m = -1/3
7. x = 2
8. P(29/2, 0)
9. P(-3/2, 3/2)
10. 14x - 8y = -33
11. C = (3, 2) e D = (7, -3)
12. dAM = 5
13. dQM = √221/2
14. C(0, 4) e D(1, 3)
15. 2(2√5 + √2)
16. A(-1, 0), B(3, 2) e C(-3, 4)
17. C(5, 4)
18. A(2, 0), B(-1, 4) e C(1, -3)
19. B(2√3, 2) e C(0, 4) ou C(2√3, -2)
20. C(4, 3) ou C(-12, 3)
21. Não
22. y = 9/2
23. k = 12
24. q = 10
25. a ≠ -1 e a ≠ 4
26. P(-2, 0)
27. P(0, 2)
28. P(4, 4)
29. P(7/3, -7/3)
30. P(1, 8)
31. P(1/2, 3/2)
32. P(-3, -4) ou P(-4, 3)
33. P(17/5, 17/5) e P(-17/9, 17/9)
34. P(87/10, 0)
35. (-5, -4); (1, 6); (9, -2)
36. t = 3/5
37. p = 1 - q
38. k = 1/4
39. 2 < x < 3
40. P(13, -3)
41. P(-1/2, 1/2)
42. C(5 + √3, 2) ou C(5 - √3, 2)
43. m = 14 ou m = -2
44. B(7, 3), C(3, 5) e G(11/3, 3)
45. P(3, 14) ou P(3, -2)
quarta-feira, 22 de junho de 2011
terça-feira, 19 de abril de 2011
REVISÃO – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 3° ANO
REVISÃO – MATEMÁTICA FINANCEIRA – 3° ANO
Professor: Aurilânio Nobre da Cunha
1. O salário líquido mensal de Raul é de R$ 2 500,00. Ele gasta 24% do salário com moradia, 30% com alimentação e 28% com transporte. Responda:
a) Quanto Raul gasta com moradia?
b) Quanto lhe sobra do salário após os gastos com moradia, alimentação e transporte?
2. (EEAr) A população de uma cidade, com 80 000 habitantes, fica acrescida anualmente em 0,5%. Quantos habitantes haverá nessa cidade ao final de dois anos?
3. A cada ano o valor de um carro diminui 15% em relação ao seu valor anterior. Se um carro 0 km custa R$ 18 000,00, quase será seu valor daqui a dois anos?
4. Na compra de um rádio, cujo preço era de R$ 82,00, foi concedido um desconto de 14%. Quanto custou o rádio?
5. Ao fazer um empréstimo para comprar sua casa própria, Kátia teve de pagar R$ 3 000,00, correspondentes a uma taxa de serviço de 5%. Qual é o valor total do empréstimo obtido?
6. Vendendo um objeto com prejuízo de 20%, Eduardo recebeu R$ 520,00. Qual foi o preço de custo desse objeto?
7. Ao comprar um videogame por R$ 270,00, Nuno conseguiu um desconto de R$ 21,60. Qual foi a taxa percentual de desconto?
8. Otto teve um reajuste salarial de 23% e passou a receber R$ 1 107,00. Qual era seu salário antes do reajuste?
9. Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 14,00. O dono da loja aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Por quanto ele está vendendo agora aquele par de sapatos?
10. (ETF-SP) Um feirante comprou, por R$ 30,00, um saco de batata, com 60 kg. Por quanto deverá vender cada quilo de batata a fim de obter um lucro de 40% sobre o valor da compra?
11. Mariana aplicou R$ 4 000,00, à taxa de 2% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Quanto receberá de juros se o regime for de juros simples? Que montante terá no fim desse tempo?
12. Aplicado durante 8 meses, um capital de R$ 7 000,00 dá um montante de R$ 7 840,00. Determine a taxa mensal de juros simples dessa operação.
13. Quanto renderá de juros simples um capital de R$ 6 000,00 aplicado:
a) durante 4 meses, à taxa de 45% ao ano (a.a.)?
b) durante 2 anos, 5 meses e 10 dias, à taxa de 6% a.m.?
Lembretes: 1 ano comercial = 360 dias; 1 mês comercial = 30 dias.
14. Determine o capital que produziu juros simples de R$ 392,00, à taxa de 3,5% a.m., durante 7 meses.
15. Marina fez uma aplicação de R$ 40 000,00, a juros simples de 1,8% ao mês, e obteve um montante de R$ 43 600,00. Quanto tempo durou essa aplicação?
16. O número de habitantes de uma cidade no ano passado era de 120 000. Neste ano, houve um aumento, passando para 127 200 habitantes. De quanto por cento foi o aumento sobre o número de habitantes no ano passado?
17. Uma mercadoria de R$ 350,00 foi comprada à vista com desconto de 12%. Determine o preço pago pela mercadoria.
18. Na compra à vista de um televisor é concedido um desconto de 15%. Patrícia comprou o televisor à vista e pagou R$ 711,45. Calcule o preço do televisor sem o desconto.
19. Plínio comprou um ventilador por R$ 48,00. Após um mês, Plínio vendeu o ventilador por R$ 43,20. Calcule a taxa percentual de prejuízo sobre o preço de compra.
20. Ao comprar um fogão de R$ 550,00, o gerente da loja concedeu um desconto de 30% sobre esse preço. Além deste, ganhei mais um desconto de 5% por pagar à vista. Calcule o valor que paguei por esse fogão.
21. Juliana aplicou a quantia de R$ 430,00 a juros simples à taxa de 15% ao ano. Calcule o montante que ele receberá daqui a 320 dias.
22. Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 360,00 à uma taxa de 0,8% ao mês para render R$ 17,28 de juros simples.
23. Um investidor aplica a juros simples R$ 650,00 a 1,6% ao mês por 4 meses. Um segundo investidor aplica, também a juros simples, R$ 800,00 a 1,8% ao mês, por 3 meses.
a) Qual dos dois investidores recebe mais juros?
b) De quanto será a diferença desses juros recebidos?
24. Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 560,00 a 0,7% a.m., para render R$ 11,76 de juros simples.
25. Determine a taxa de juros simples de um capital de R$ 5 000,00 de modo a produzir um montante de R$ 6 200,00 em 4 meses.
26. Durante quanto tempo deve ser aplicado, a juros simples, um capital C a 2% ao mês para que os juros produzidos correspondam ao dobro do capital empregado?
27. À taxa de 30% ao ano, certo capital, em 8 meses, produziu a juros simples um total de R$ 1 500,00. Calcule o capital aplicado.
28. Um capital aplicado a juros simples, durante 7 meses, à taxa de 2% a.m., gerou nesse período um montante de R$ 592,80. Qual foi o capital aplicado?
Gabarito:
1. a) 600,00 b) R$ 450,00 2. 80 802 habitantes 3. 13 005,00
4. R$ 70,52 5. R$ 60 000,00 6. R$ 650,00 7. 8% 8. R$ 900,00
9. R$ 16,80 10. R$ 0,70 11. R$ 240,00; R$ 4 240,00
12. 1,5% a.m. 13. a) R$ 900,00 b) R$ 10 560,00 14. R$ 1 600,00
15. 5 meses 16. 6% 17. R$ 308,00 18. R$ 837,00 19. 10%
20. R$ 365,75 21. R$ 487,33 22. 6 meses 23. a) o 2º b) R$ 1,60
24. 3 meses 25. 6% a.m. 26. 100 meses (8 anos e 4 meses)
27. R$ 1250,00 28. R$ 520,00
Professor: Aurilânio Nobre da Cunha
1. O salário líquido mensal de Raul é de R$ 2 500,00. Ele gasta 24% do salário com moradia, 30% com alimentação e 28% com transporte. Responda:
a) Quanto Raul gasta com moradia?
b) Quanto lhe sobra do salário após os gastos com moradia, alimentação e transporte?
2. (EEAr) A população de uma cidade, com 80 000 habitantes, fica acrescida anualmente em 0,5%. Quantos habitantes haverá nessa cidade ao final de dois anos?
3. A cada ano o valor de um carro diminui 15% em relação ao seu valor anterior. Se um carro 0 km custa R$ 18 000,00, quase será seu valor daqui a dois anos?
4. Na compra de um rádio, cujo preço era de R$ 82,00, foi concedido um desconto de 14%. Quanto custou o rádio?
5. Ao fazer um empréstimo para comprar sua casa própria, Kátia teve de pagar R$ 3 000,00, correspondentes a uma taxa de serviço de 5%. Qual é o valor total do empréstimo obtido?
6. Vendendo um objeto com prejuízo de 20%, Eduardo recebeu R$ 520,00. Qual foi o preço de custo desse objeto?
7. Ao comprar um videogame por R$ 270,00, Nuno conseguiu um desconto de R$ 21,60. Qual foi a taxa percentual de desconto?
8. Otto teve um reajuste salarial de 23% e passou a receber R$ 1 107,00. Qual era seu salário antes do reajuste?
9. Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 14,00. O dono da loja aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Por quanto ele está vendendo agora aquele par de sapatos?
10. (ETF-SP) Um feirante comprou, por R$ 30,00, um saco de batata, com 60 kg. Por quanto deverá vender cada quilo de batata a fim de obter um lucro de 40% sobre o valor da compra?
11. Mariana aplicou R$ 4 000,00, à taxa de 2% ao mês (a.m.), durante 3 meses. Quanto receberá de juros se o regime for de juros simples? Que montante terá no fim desse tempo?
12. Aplicado durante 8 meses, um capital de R$ 7 000,00 dá um montante de R$ 7 840,00. Determine a taxa mensal de juros simples dessa operação.
13. Quanto renderá de juros simples um capital de R$ 6 000,00 aplicado:
a) durante 4 meses, à taxa de 45% ao ano (a.a.)?
b) durante 2 anos, 5 meses e 10 dias, à taxa de 6% a.m.?
Lembretes: 1 ano comercial = 360 dias; 1 mês comercial = 30 dias.
14. Determine o capital que produziu juros simples de R$ 392,00, à taxa de 3,5% a.m., durante 7 meses.
15. Marina fez uma aplicação de R$ 40 000,00, a juros simples de 1,8% ao mês, e obteve um montante de R$ 43 600,00. Quanto tempo durou essa aplicação?
16. O número de habitantes de uma cidade no ano passado era de 120 000. Neste ano, houve um aumento, passando para 127 200 habitantes. De quanto por cento foi o aumento sobre o número de habitantes no ano passado?
17. Uma mercadoria de R$ 350,00 foi comprada à vista com desconto de 12%. Determine o preço pago pela mercadoria.
18. Na compra à vista de um televisor é concedido um desconto de 15%. Patrícia comprou o televisor à vista e pagou R$ 711,45. Calcule o preço do televisor sem o desconto.
19. Plínio comprou um ventilador por R$ 48,00. Após um mês, Plínio vendeu o ventilador por R$ 43,20. Calcule a taxa percentual de prejuízo sobre o preço de compra.
20. Ao comprar um fogão de R$ 550,00, o gerente da loja concedeu um desconto de 30% sobre esse preço. Além deste, ganhei mais um desconto de 5% por pagar à vista. Calcule o valor que paguei por esse fogão.
21. Juliana aplicou a quantia de R$ 430,00 a juros simples à taxa de 15% ao ano. Calcule o montante que ele receberá daqui a 320 dias.
22. Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 360,00 à uma taxa de 0,8% ao mês para render R$ 17,28 de juros simples.
23. Um investidor aplica a juros simples R$ 650,00 a 1,6% ao mês por 4 meses. Um segundo investidor aplica, também a juros simples, R$ 800,00 a 1,8% ao mês, por 3 meses.
a) Qual dos dois investidores recebe mais juros?
b) De quanto será a diferença desses juros recebidos?
24. Achar o tempo de aplicação de um capital de R$ 560,00 a 0,7% a.m., para render R$ 11,76 de juros simples.
25. Determine a taxa de juros simples de um capital de R$ 5 000,00 de modo a produzir um montante de R$ 6 200,00 em 4 meses.
26. Durante quanto tempo deve ser aplicado, a juros simples, um capital C a 2% ao mês para que os juros produzidos correspondam ao dobro do capital empregado?
27. À taxa de 30% ao ano, certo capital, em 8 meses, produziu a juros simples um total de R$ 1 500,00. Calcule o capital aplicado.
28. Um capital aplicado a juros simples, durante 7 meses, à taxa de 2% a.m., gerou nesse período um montante de R$ 592,80. Qual foi o capital aplicado?
Gabarito:
1. a) 600,00 b) R$ 450,00 2. 80 802 habitantes 3. 13 005,00
4. R$ 70,52 5. R$ 60 000,00 6. R$ 650,00 7. 8% 8. R$ 900,00
9. R$ 16,80 10. R$ 0,70 11. R$ 240,00; R$ 4 240,00
12. 1,5% a.m. 13. a) R$ 900,00 b) R$ 10 560,00 14. R$ 1 600,00
15. 5 meses 16. 6% 17. R$ 308,00 18. R$ 837,00 19. 10%
20. R$ 365,75 21. R$ 487,33 22. 6 meses 23. a) o 2º b) R$ 1,60
24. 3 meses 25. 6% a.m. 26. 100 meses (8 anos e 4 meses)
27. R$ 1250,00 28. R$ 520,00
terça-feira, 11 de maio de 2010
Projeto "Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa"
PROJETO - BOLSA FUNCAP 2010
TÍTULO DO PROJETO
Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa
AUTOR DO PRJETO: AURILÂNIO NOBRE DA CUNHA
OBJETIVOS E METAS
Objetivos:
Mostrar como a Matemática (especialmente a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades) é utilizada nas loterias, enfatizando a contextualização dos conteúdos, tão defendida pelos PCNs.
Demonstrar que os cálculos probabilísticos que envolvem as loterias (citadas aqui) são feitos por meio de combinações simples.
Apresentar aos interessados (e curiosos em geral) quais as chances que eles têm de ganhar ao apostar (de diferentes maneiras) nas loterias citadas aqui.
Metas:
Mostrar como são feitos os cálculos das probabilidades de se ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
Apresentar aos interessados pelas loterias da Caixa Econômica Federal (e curiosos em geral) as chances que eles têm de ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
JUSTIFICATIVA
Ganhar na loteria, especialmente na mega sena, sempre foi o sonho de muitos brasileiros. Essas pessoas, na maioria das vezes, contando cegamente com a sorte, fazem de tudo para conseguir a façanha, quase que impossível, de mudar radicalmente suas vidas de um dia para o outro acertando as dezenas da loteria, principalmente quando se trata de uma loteria que paga muito dinheiro (a mega sena, por exemplo).
Quando tratamos de loterias, torna-se inevitável a relação com Análise Combinatória e Probabilidade, visto que a Teoria das Probabilidades, tal como conhecemos hoje, teve seu inicio com os jogos de azar.
Historicamente, temos relatos que Girolamo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, o jogo de dados.
Depois disso, o matemático francês Blaise Pascal (1623-1662), procurado por um amigo e fanático jogador chamado Chevalier de Meré sobre o jogo de dados, manteve correspondência com outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Dessa correspondência entre Pascal e Fermat e de seus trabalhos sobre várias situações de jogos de azar, é que evoluiu a Teoria das Probabilidades.
Matemáticos como o holandês Christiaan Huygens (1629-1695), que escreveu o primeiro livro da história sobre probabilidades, como o francês Abraham de Moivre (1667-1754), que escreveu Doutrina das probabilidades e como Jacob Bernoulli (1654-1705) também contribuíram, de forma direta ou indireta, com o desenvolvimento das probabilidades. Mais tarde, o matemático francês Leonard Euller (1707-1783) e o matemático francês Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidade aplicada à Economia, Ciências Sociais e às loterias.
Este trabalho, apoiado na Análise Combinatória e na Teoria das Probabilidades se promove a demonstrar, até certo ponto, os cálculos probabilísticos que envolvem algumas loterias da Caixa Econômica Federal. Não pretendo aqui mostrar um tratado profundo de Probabilidade, pois sabemos que esse ramo da Matemática é demasiadamente complexo, e sim mostrar que um problema simples, como por exemplo, a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar na mega sena jogando um cartão com 6 dezenas, pode ser resolvido.
A relevância deste trabalho reside no fato de o mesmo apresentar às pessoas, mesmo as que não têm muita afinidade com os cálculos matemáticos, mas são curiosos e gostam de loterias, quais as chances que elas têm de ganhar ao tentar a sorte apostando nas loterias da Caixa citadas aqui.
Obs.: As referências aos matemáticos feitas aqui foram baseadas numa nota histórica de Luiz Roberto Dante em sua coleção Matemática: contexto e aplicações, volume 2, editora Ática, página 466, ano 2001.
METODOLOGIA
Antes de elaborar este trabalho, tive que escolher os livros que iriam fundamentar minha pesquisa, livros estes que estão citados nas referências bibliográficas abaixo. Em seguida, estudei-os com afinco e dedicação a fim de elaborar todos os cálculos envolvidos na mega sena, dupla sena, quina e lotofácil. O resultado de todo este esforço está demonstrado nos cálculos abaixo:
MEGA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Mega Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = 1/C60,6 = 1/50 063 860
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5 . C54,1/ C60,6 = 6 . 54/50 063 860 = 324/50 063 860 = 1/154 518
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C54,2/ C60,6 = 15 . 1 431/50 063 860 = 21 465/50 063 860 = 1/2 332
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C7,6/ C60,6 = 7/50 063 860 = 1/7 151 980
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5 . C53,1/ C60,6 = 21 . 53/50 063 860 = 1 113/50 063 860 = 1/44 981
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7,4 . C53,2/ C60,6 = 35 . 1 378/50 063 860 = 48 230/50 063 860 = 1/1 038
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C8,6/ C60,6 = 28/50 063 860 = 1/1 787 995
Quina (5 dezenas):
P5 = C8,5 . C52,1/ C60,6 = 56 . 52/50 063 860 = 2 912/50 063 860 = 1/17 192
Quadra (4 dezenas):
P4 = C8,4 . C52,2/ C60,6 = 70 . 1 326/50 063 860 = 92 820/50 063 860 = 1/539
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C9,6/C60,6 = 84 /50 063 860 = 1/595 998
Quina (5 dezenas):
P5 = C9,5. C51,1/ C60,6 = 126 . 51/50 063 860 = 6 426/50 063 860 = 1/7 791
Quadra (4 dezenas):
P4 = C9,4 . C51,2/ C60,6 = 126/1 275/50 063 860 = 160 650/50 063 860 = 1/312
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C10,6/C60,6 = 210/50 063 860 = 1/238 399
Quina (5 dezenas):
P5 = C10,5 . C50,1/ C60,6 = 252 . 50/50 063 860 = 12 600/50 063 860 = 1/3 973
Quadra (4 dezenas):
P4 = C10,4 . C50,2/ C60,6 = 210 . 1 225/50 063 860 = 257 250/50 063 860 = 1/195
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C11,6/C60,6 = 462/50 063 860 = 1/108 363
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C49,1/c60,6 = 462 . 49/50 063 860 = 22 638/50 063 860 = 1/2 211
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C49,2//c60,6 = 330 . 1 176/50 063 860 = 388 080/50 063 860 = 1/129
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C12,6/C60,6 = 924/50 063 860 = 1/54 182
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C48,1/c60,6 = 792 . 48/50 063 860 = 38 016/50 063 860 = 1/1 317
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C48,2//c60,6 = 495 . 1 128/50 063 860 = 558 360/50 063 860 = 1/90
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C13,6/C60,6 = 1 716/50 063 860 = 1/29 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C47,1/c60,6 = 1 287 . 47/50 063 860 = 60 489/50 063 860 = 1/828
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C47,2//c60,6 = 715 . 1 081/50 063 860 = 772 915/50 063 860 = 1/65
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C14,6/C60,6 = 3 003/50 063 860 = 1/16 671
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C46,1/c60,6 = 2 002 . 46/50 063 860 = 92 092/50 063 860 = 1/544
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C46,2/c60,6 = 1 001 . 1 035/50 063 860 = 1 036 035/50 063 860 = 1/48
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C15,6/C60,6 = 5 005/50 063 860 = 1/10 003
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C45,1/c60,6 = 3 003 . 45/50 063 860 = 135 135/50 063 860 = 1/370
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C45,2//c60,6 = 1 365 . 990/50 063 860 = 1 351 350/50 063 860 = 1/37
MEGA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 30 dezenas pares e 30 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C60,6 = 50 063 860
0 par e 6 ímpares: C30,0 . C30,6 = 1 . 593 775 = 593 775
1 par e 5 ímpares: C30,1 . C30,5 = 30 . 142 506 = 4 275 180
2 pares e 4 ímpares: C30,2 . C30,4 = 435 . 27 405 = 11 921 175
3 pares e 3 ímpares: C30,3 . C30,3 = 4 060 . 4 060 = 16 483 600
4 pares e 2 ímpares: C30,4 . C30,2 = 27 405 . 435 = 11 921 175
5 pares e 1 ímpar: C30,5 . C30,1 = 142 506 . 30 = 4 275 180
6 pares e 0 ímpar: C30,6 . C30,0 = 593 775 . 1 = 593 775
Note que: 593 775 + 4 275 180 + 11 921 175 + 16 483 600 + 11 921 175 + 4 275 180 + 593 775 = 50 063 860
DUPLA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Dupla Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = 1/C50,6 = 1/15 890 700
Quina (5 dezenas)
P5 = C6,5 . C44,1/ C50,6 = 6 . 44/15 890 700 = 264/15 890 700 = 1/60 192
Quadra (4 dezenas)
P4 = C6,4 . C44,2/C50,6 = 15 . 946/15 890 700 = 14 190/15 890 700 = 1/1 120
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C7,6/C50,6 = 7/15 890 700 = 1/2 270 100
Quina (5 dezenas)
P5 = C7,5 . C43,1/ C50,6 = 21 . 43/15 890 700 = 903/15 890 700 = 1/17 598
Quadra (4 dezenas)
P4 = C7,4 . C43,2/C50,6 = 35 . 903/15 890 700 = 31 605/15 890 700 = 1/503
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C8,6/C50,6 = 28/15 890 700 = 1/567 525
Quina (5 dezenas)
P5 = C8,5 . C42,1/ C50,6 = 56 . 42/15 890 700 = 2 352/15 890 700 = 1/6 756
Quadra (4 dezenas)
P4 = C8,4 . C42,2/C50,6 = 70 . 861/15 890 700 = 60 270/15 890 700 = 1/264
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C9,6/C50,6 = 84/15 890 700 = 1/189 175
Quina (5 dezenas)
P5 = C9,5 . C41,1/ C50,6 = 126 . 41/15 890 700 = 5 166/15 890 700 = 1/3 076
Quadra (4 dezenas)
P4 = C9,4 . C41,2/C50,6 = 126 . 820/15 890 700 = 103 320/15 890 700 = 1/154
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C10,6/C50,6 = 210/15 890 700 = 1/75 670
Quina (5 dezenas)
P5 = C10,5 . C40,1/ C50,6 = 252 . 40/15 890 700 = 10 080/15 890 700 = 1/1 576
Quadra (4 dezenas)
P4 = C10,4 . C40,2/C50,6 = 210 . 780/15 890 700 = 163 800/15 890 700 = 1/97
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C11,6/C50,6 = 462/15 890 700 = 1/34 395
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C39,1/ C50,6 = 462 . 39/15 890 700 = 18 018/15 890 700 = 1/882
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C39,2/C50,6 = 330 . 741/15 890 700 = 244 530/15 890 700 = 1/65
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C12,6/C50,6 = 924/15 890 700 = 1/17 198
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C38,1/ C50,6 = 792 . 38/15 890 700 = 30 096/15 890 700 = 1/528
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C38,2/C50,6 = 495 . 703/15 890 700 = 347 985/15 890 700 = 1/46
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C13,6/C50,6 = 1 716/15 890 700 = 1/9 260
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C37,1/ C50,6 = 1 287 . 37/15 890 700 = 47 619/15 890 700 =1/334
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C37,2/C50,6 = 715 . 666/15 890 700 = 476 190/15 890 700 = 1/34
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C14,6/C50,6 = 3003/15 890 700 = 1/5 292
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C36,1/ C50,6 = 2 002 . 36/15 890 700 =72 072/15 890 700 =1/220
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C36,2/C50,6 = 1 001 . 630/15 890 700 =630 630/15 890 700 = 1/25
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C15,6/C50,6 = 5 005/15 890 700 =1/3 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C35,1/ C50,6 =3 003 . 35/15 890 700 = 105 105/15 890 700 = 1/151
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C35,2/C50,6 = 1 365 . 595/15 890 700 = 812 175/15 890 700 = 1/20
DUPLA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 25 dezenas pares e 25 dezenas ímpares.
Quantidade de resultados possíveis: C50,6 = 15 890 700
0 par e 6 impares: C25,0 . C25,6 = 1 . 177 100 = 177 100
1 par e 5 impares: C25,1 . C25.5 = 25 . 53 130 = 1 328 250
2 pares e 4 impares: C25,2 , C25,4 = 300 . 12 650 = 3 795 000
3 pares e 3 impares: C25.3 . C25,3 = 2 300 . 2 300 = 5 290 000
4 pares e 2 impares: C25,4 . C25,2 = 12 650 . 300 = 3 795 000
5 pares e 1 impar: C25,5 . C25,1 = 53 130 . 25 = 1 328 250
6 pares e 0 impar: C25,6 . C25,0 = 177 100 . 1 = 177 100
Note que: 177 100 + 1 328 250 + 3 795 000 + 5 290 000 + 3 795 000 + 1 328 250 + 177 100 = 15 890 700
QUINA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Quina são:
Cartão com 5 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = 1/C80,5 = 1/24 040 016
Quadra (4 dezenas):
P4 = C5,4 . C75,1/ C80,5 = 5 . 75/24 040 016 = 375/24 040 016 = 1/64 106
Terno (3 dezenas):
P3 = C5,3 . C75,2/ C80,5 = 10 . 2 775/24 040 016 = 27 750/24 040 016 = 1/866
Cartão com 6 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5/ C80,5 = 6/24 040 016 = 1/4 006 669
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C74,1/ C80,5 = 15 . 74/24 040 016 = 1 110/24 040 016 = 1/21 658
Terno (3 dezenas):
P3 = C6,3 . C74,2/ C80,5 = 20 . 2 701/24 040 016. = 54 020/24 040 016 = 1/445
Cartão com 7 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5/ C80,5 = 21/24 040 016 = 1/1 144 763
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7 ,4 . C73,1/ C80,5 = 35 . 73/24 040 016 = 2 555/24 040 016 = 1/9 409
Terno (3 dezenas):
P3 = C7,3 . C73,2/ C80,5 = 35 . 2 628/24 040 016 = 91 980/24 040 016 = 1/261
QUINA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 40 dezenas pares e 40 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C80,5 = 24 040 016
0 par e 5 impares: C40,0 . C40,5 = 1 . 658 008 = 658 008
1 par e 4 impares: C40,1 . C40,4 = 40 . 91 390 = 3 655 600
2 pares e 3 impares: C40,2 . C40,3 = 780 . 9 880 = 7 706 400
3 pares e 2 impares: C40,3 . C40,2 = 9 880 . 780 = 7 706 400
4 pares e 1 impar: C40,4 . C40,1 = 91 390 . 40 = 3 655 600
5 pares e 0 impar: C40,5 . c40,0 = 658 008 . 1 = 658 008
Note que: 658 008 + 3 655 600 + 7 706 400 + 7 706 400 + 3 655 600 + 658 008 = 24 040 016
LOTOFÁCIL
Segundo as probabilidades matemáticas, fazendo a aposta única (marcando 15 dezenas), as chances de acertar na Lotofácil são:
15 dezenas
P15 = 1/C25,15 = 1/3 268 760
14 dezenas
P14 = C15,14 . C10,1/ C25,15 = 15 . 10/3 268 760 = 150/3 268 760 = 1/21 791
13 dezenas
P13 = C15,13 . C10,2/ C25,15 = 105 . 45/3 268 760 = 4 725/3 268 760 = 1/691
12 dezenas
P12 = C15,12 . C10,3/ C25,15 = 455 . 120/3 268 760 = 54 600/3 268 760 = 1/59
11 dezenas
P11 = C15,11 . C10,4/ C25,15 = 1 365 . 210/3 268 760 =286 650/3 268 760 = 1/ 11
LOTOFÁCIL
Quantidade de cartões que podem ser formados com 12 dezenas pares e 13 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C25,15 = 3 268 760
2 pares e 13 ímpares: C12,2 . C13,13 = 66 . 1 = 66
3 pares e 12 ímpares: C12,3 . C13,12 = 220 . 13 = 2 860
4 pares e 11 ímpares: C12,4 . C13,11 = 495 . 78 = 38 610
5 pares e 10 ímpares: C12,5 . C13,10 = 792 . 286 = 226 512
6 pares e 9 ímpares: C12,6 . C13,9 =924 . 715 = 660 660
7 pares e 8 ímpares: C12,7 . C13,8 = 792 . 1 287 = 1 019 304
8 pares e 7 ímpares: C12,8 . C13,7 = 495 . 1 716 = 849 420
9 pares e 6 ímpares: C12,9 . C13,6 = 220 . 1 716 = 377 520
10 pares e 5 ímpares: C12,10 . C13,5 = 66 . 1 287 = 84 942
11 pares e 4 ímpares: C12,11 . C13,4 = 12 . 715 = 8 580
12 pares e 3 ímpares: C12,12 . C13,3 = 1 . 286 = 286
Note que: 66 + 2 860 + 38 610 + 226 512 + 660 660 + 1 019 304 + 849 420 + 377 520 + 84 942 + 8 580 + 286 = 3 268 760
CRONOGRAMA (PLANO) DE ATIVIDADES (MENSAL E SEMANAL) MODALIDADE: PRESENCIAL
CARGA HORÁRIA: 60 h/a
PERÍODO TOTAL DE EXECUÇÃO DO PROJETO: 3 MESES
JUNHO/2010
01.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória
-Fatorial de um número natural (definição e exemplos);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo fatorial de um número natural.
08.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória (término):
-Combinações simples (definição e fórmula de combinações simples);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo combinações simples.
15.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Probabilidade:
-Elementos do estudo das probabilidades (experimento aleatório, espaço amostral e evento);
-Probabilidade.
Lotofácil
22.06.2010 (4 h/a):
-Regulamento da lotofácil;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a lotofácil (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na lotofácil.
29.06.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil.
JULHO/2010
06.07.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil (término).
Mega sena
13.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da mega sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a mega sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na mega sena.
14.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
20.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena (término).
Quina
27.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da quina;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a quina (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na quina.
AGOSTO/2010
03.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
10.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da quina (término).
Dupla sena
17.08.2010 (4 h/a):
-Regulamento da dupla sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a dupla sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na dupla sena.
24.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena.
31.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena (término).
CRONOGRAMA DE ATIVIDADES (À DISTÂNCIA)
CARGA HORÁRIA: 20 h/a
JULHO/2010
01.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da lotofácil, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
08.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da mega sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
15.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da quina, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
22.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da dupla sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
29.07.2010 (4 h/a):
-Pesquisar (no Google) no mínimo 5 sites especializados em loterias.
-Pesquisar (no Golgle) alguns softwares usados para combinar números e gerar apostas das loterias da Caixa citadas aqui.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas, vol. 3. Atual Editora, 2000.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações, ensino médio, vol. 2; 2ª ed. Ática, 2001.
[3] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5; 6ª ed. Atual Editora, 2000.
TÍTULO DO PROJETO
Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa
AUTOR DO PRJETO: AURILÂNIO NOBRE DA CUNHA
OBJETIVOS E METAS
Objetivos:
Mostrar como a Matemática (especialmente a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades) é utilizada nas loterias, enfatizando a contextualização dos conteúdos, tão defendida pelos PCNs.
Demonstrar que os cálculos probabilísticos que envolvem as loterias (citadas aqui) são feitos por meio de combinações simples.
Apresentar aos interessados (e curiosos em geral) quais as chances que eles têm de ganhar ao apostar (de diferentes maneiras) nas loterias citadas aqui.
Metas:
Mostrar como são feitos os cálculos das probabilidades de se ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
Apresentar aos interessados pelas loterias da Caixa Econômica Federal (e curiosos em geral) as chances que eles têm de ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
JUSTIFICATIVA
Ganhar na loteria, especialmente na mega sena, sempre foi o sonho de muitos brasileiros. Essas pessoas, na maioria das vezes, contando cegamente com a sorte, fazem de tudo para conseguir a façanha, quase que impossível, de mudar radicalmente suas vidas de um dia para o outro acertando as dezenas da loteria, principalmente quando se trata de uma loteria que paga muito dinheiro (a mega sena, por exemplo).
Quando tratamos de loterias, torna-se inevitável a relação com Análise Combinatória e Probabilidade, visto que a Teoria das Probabilidades, tal como conhecemos hoje, teve seu inicio com os jogos de azar.
Historicamente, temos relatos que Girolamo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, o jogo de dados.
Depois disso, o matemático francês Blaise Pascal (1623-1662), procurado por um amigo e fanático jogador chamado Chevalier de Meré sobre o jogo de dados, manteve correspondência com outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Dessa correspondência entre Pascal e Fermat e de seus trabalhos sobre várias situações de jogos de azar, é que evoluiu a Teoria das Probabilidades.
Matemáticos como o holandês Christiaan Huygens (1629-1695), que escreveu o primeiro livro da história sobre probabilidades, como o francês Abraham de Moivre (1667-1754), que escreveu Doutrina das probabilidades e como Jacob Bernoulli (1654-1705) também contribuíram, de forma direta ou indireta, com o desenvolvimento das probabilidades. Mais tarde, o matemático francês Leonard Euller (1707-1783) e o matemático francês Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidade aplicada à Economia, Ciências Sociais e às loterias.
Este trabalho, apoiado na Análise Combinatória e na Teoria das Probabilidades se promove a demonstrar, até certo ponto, os cálculos probabilísticos que envolvem algumas loterias da Caixa Econômica Federal. Não pretendo aqui mostrar um tratado profundo de Probabilidade, pois sabemos que esse ramo da Matemática é demasiadamente complexo, e sim mostrar que um problema simples, como por exemplo, a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar na mega sena jogando um cartão com 6 dezenas, pode ser resolvido.
A relevância deste trabalho reside no fato de o mesmo apresentar às pessoas, mesmo as que não têm muita afinidade com os cálculos matemáticos, mas são curiosos e gostam de loterias, quais as chances que elas têm de ganhar ao tentar a sorte apostando nas loterias da Caixa citadas aqui.
Obs.: As referências aos matemáticos feitas aqui foram baseadas numa nota histórica de Luiz Roberto Dante em sua coleção Matemática: contexto e aplicações, volume 2, editora Ática, página 466, ano 2001.
METODOLOGIA
Antes de elaborar este trabalho, tive que escolher os livros que iriam fundamentar minha pesquisa, livros estes que estão citados nas referências bibliográficas abaixo. Em seguida, estudei-os com afinco e dedicação a fim de elaborar todos os cálculos envolvidos na mega sena, dupla sena, quina e lotofácil. O resultado de todo este esforço está demonstrado nos cálculos abaixo:
MEGA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Mega Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = 1/C60,6 = 1/50 063 860
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5 . C54,1/ C60,6 = 6 . 54/50 063 860 = 324/50 063 860 = 1/154 518
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C54,2/ C60,6 = 15 . 1 431/50 063 860 = 21 465/50 063 860 = 1/2 332
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C7,6/ C60,6 = 7/50 063 860 = 1/7 151 980
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5 . C53,1/ C60,6 = 21 . 53/50 063 860 = 1 113/50 063 860 = 1/44 981
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7,4 . C53,2/ C60,6 = 35 . 1 378/50 063 860 = 48 230/50 063 860 = 1/1 038
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C8,6/ C60,6 = 28/50 063 860 = 1/1 787 995
Quina (5 dezenas):
P5 = C8,5 . C52,1/ C60,6 = 56 . 52/50 063 860 = 2 912/50 063 860 = 1/17 192
Quadra (4 dezenas):
P4 = C8,4 . C52,2/ C60,6 = 70 . 1 326/50 063 860 = 92 820/50 063 860 = 1/539
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C9,6/C60,6 = 84 /50 063 860 = 1/595 998
Quina (5 dezenas):
P5 = C9,5. C51,1/ C60,6 = 126 . 51/50 063 860 = 6 426/50 063 860 = 1/7 791
Quadra (4 dezenas):
P4 = C9,4 . C51,2/ C60,6 = 126/1 275/50 063 860 = 160 650/50 063 860 = 1/312
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C10,6/C60,6 = 210/50 063 860 = 1/238 399
Quina (5 dezenas):
P5 = C10,5 . C50,1/ C60,6 = 252 . 50/50 063 860 = 12 600/50 063 860 = 1/3 973
Quadra (4 dezenas):
P4 = C10,4 . C50,2/ C60,6 = 210 . 1 225/50 063 860 = 257 250/50 063 860 = 1/195
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C11,6/C60,6 = 462/50 063 860 = 1/108 363
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C49,1/c60,6 = 462 . 49/50 063 860 = 22 638/50 063 860 = 1/2 211
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C49,2//c60,6 = 330 . 1 176/50 063 860 = 388 080/50 063 860 = 1/129
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C12,6/C60,6 = 924/50 063 860 = 1/54 182
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C48,1/c60,6 = 792 . 48/50 063 860 = 38 016/50 063 860 = 1/1 317
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C48,2//c60,6 = 495 . 1 128/50 063 860 = 558 360/50 063 860 = 1/90
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C13,6/C60,6 = 1 716/50 063 860 = 1/29 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C47,1/c60,6 = 1 287 . 47/50 063 860 = 60 489/50 063 860 = 1/828
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C47,2//c60,6 = 715 . 1 081/50 063 860 = 772 915/50 063 860 = 1/65
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C14,6/C60,6 = 3 003/50 063 860 = 1/16 671
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C46,1/c60,6 = 2 002 . 46/50 063 860 = 92 092/50 063 860 = 1/544
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C46,2/c60,6 = 1 001 . 1 035/50 063 860 = 1 036 035/50 063 860 = 1/48
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C15,6/C60,6 = 5 005/50 063 860 = 1/10 003
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C45,1/c60,6 = 3 003 . 45/50 063 860 = 135 135/50 063 860 = 1/370
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C45,2//c60,6 = 1 365 . 990/50 063 860 = 1 351 350/50 063 860 = 1/37
MEGA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 30 dezenas pares e 30 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C60,6 = 50 063 860
0 par e 6 ímpares: C30,0 . C30,6 = 1 . 593 775 = 593 775
1 par e 5 ímpares: C30,1 . C30,5 = 30 . 142 506 = 4 275 180
2 pares e 4 ímpares: C30,2 . C30,4 = 435 . 27 405 = 11 921 175
3 pares e 3 ímpares: C30,3 . C30,3 = 4 060 . 4 060 = 16 483 600
4 pares e 2 ímpares: C30,4 . C30,2 = 27 405 . 435 = 11 921 175
5 pares e 1 ímpar: C30,5 . C30,1 = 142 506 . 30 = 4 275 180
6 pares e 0 ímpar: C30,6 . C30,0 = 593 775 . 1 = 593 775
Note que: 593 775 + 4 275 180 + 11 921 175 + 16 483 600 + 11 921 175 + 4 275 180 + 593 775 = 50 063 860
DUPLA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Dupla Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = 1/C50,6 = 1/15 890 700
Quina (5 dezenas)
P5 = C6,5 . C44,1/ C50,6 = 6 . 44/15 890 700 = 264/15 890 700 = 1/60 192
Quadra (4 dezenas)
P4 = C6,4 . C44,2/C50,6 = 15 . 946/15 890 700 = 14 190/15 890 700 = 1/1 120
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C7,6/C50,6 = 7/15 890 700 = 1/2 270 100
Quina (5 dezenas)
P5 = C7,5 . C43,1/ C50,6 = 21 . 43/15 890 700 = 903/15 890 700 = 1/17 598
Quadra (4 dezenas)
P4 = C7,4 . C43,2/C50,6 = 35 . 903/15 890 700 = 31 605/15 890 700 = 1/503
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C8,6/C50,6 = 28/15 890 700 = 1/567 525
Quina (5 dezenas)
P5 = C8,5 . C42,1/ C50,6 = 56 . 42/15 890 700 = 2 352/15 890 700 = 1/6 756
Quadra (4 dezenas)
P4 = C8,4 . C42,2/C50,6 = 70 . 861/15 890 700 = 60 270/15 890 700 = 1/264
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C9,6/C50,6 = 84/15 890 700 = 1/189 175
Quina (5 dezenas)
P5 = C9,5 . C41,1/ C50,6 = 126 . 41/15 890 700 = 5 166/15 890 700 = 1/3 076
Quadra (4 dezenas)
P4 = C9,4 . C41,2/C50,6 = 126 . 820/15 890 700 = 103 320/15 890 700 = 1/154
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C10,6/C50,6 = 210/15 890 700 = 1/75 670
Quina (5 dezenas)
P5 = C10,5 . C40,1/ C50,6 = 252 . 40/15 890 700 = 10 080/15 890 700 = 1/1 576
Quadra (4 dezenas)
P4 = C10,4 . C40,2/C50,6 = 210 . 780/15 890 700 = 163 800/15 890 700 = 1/97
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C11,6/C50,6 = 462/15 890 700 = 1/34 395
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C39,1/ C50,6 = 462 . 39/15 890 700 = 18 018/15 890 700 = 1/882
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C39,2/C50,6 = 330 . 741/15 890 700 = 244 530/15 890 700 = 1/65
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C12,6/C50,6 = 924/15 890 700 = 1/17 198
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C38,1/ C50,6 = 792 . 38/15 890 700 = 30 096/15 890 700 = 1/528
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C38,2/C50,6 = 495 . 703/15 890 700 = 347 985/15 890 700 = 1/46
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C13,6/C50,6 = 1 716/15 890 700 = 1/9 260
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C37,1/ C50,6 = 1 287 . 37/15 890 700 = 47 619/15 890 700 =1/334
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C37,2/C50,6 = 715 . 666/15 890 700 = 476 190/15 890 700 = 1/34
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C14,6/C50,6 = 3003/15 890 700 = 1/5 292
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C36,1/ C50,6 = 2 002 . 36/15 890 700 =72 072/15 890 700 =1/220
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C36,2/C50,6 = 1 001 . 630/15 890 700 =630 630/15 890 700 = 1/25
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C15,6/C50,6 = 5 005/15 890 700 =1/3 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C35,1/ C50,6 =3 003 . 35/15 890 700 = 105 105/15 890 700 = 1/151
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C35,2/C50,6 = 1 365 . 595/15 890 700 = 812 175/15 890 700 = 1/20
DUPLA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 25 dezenas pares e 25 dezenas ímpares.
Quantidade de resultados possíveis: C50,6 = 15 890 700
0 par e 6 impares: C25,0 . C25,6 = 1 . 177 100 = 177 100
1 par e 5 impares: C25,1 . C25.5 = 25 . 53 130 = 1 328 250
2 pares e 4 impares: C25,2 , C25,4 = 300 . 12 650 = 3 795 000
3 pares e 3 impares: C25.3 . C25,3 = 2 300 . 2 300 = 5 290 000
4 pares e 2 impares: C25,4 . C25,2 = 12 650 . 300 = 3 795 000
5 pares e 1 impar: C25,5 . C25,1 = 53 130 . 25 = 1 328 250
6 pares e 0 impar: C25,6 . C25,0 = 177 100 . 1 = 177 100
Note que: 177 100 + 1 328 250 + 3 795 000 + 5 290 000 + 3 795 000 + 1 328 250 + 177 100 = 15 890 700
QUINA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Quina são:
Cartão com 5 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = 1/C80,5 = 1/24 040 016
Quadra (4 dezenas):
P4 = C5,4 . C75,1/ C80,5 = 5 . 75/24 040 016 = 375/24 040 016 = 1/64 106
Terno (3 dezenas):
P3 = C5,3 . C75,2/ C80,5 = 10 . 2 775/24 040 016 = 27 750/24 040 016 = 1/866
Cartão com 6 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5/ C80,5 = 6/24 040 016 = 1/4 006 669
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C74,1/ C80,5 = 15 . 74/24 040 016 = 1 110/24 040 016 = 1/21 658
Terno (3 dezenas):
P3 = C6,3 . C74,2/ C80,5 = 20 . 2 701/24 040 016. = 54 020/24 040 016 = 1/445
Cartão com 7 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5/ C80,5 = 21/24 040 016 = 1/1 144 763
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7 ,4 . C73,1/ C80,5 = 35 . 73/24 040 016 = 2 555/24 040 016 = 1/9 409
Terno (3 dezenas):
P3 = C7,3 . C73,2/ C80,5 = 35 . 2 628/24 040 016 = 91 980/24 040 016 = 1/261
QUINA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 40 dezenas pares e 40 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C80,5 = 24 040 016
0 par e 5 impares: C40,0 . C40,5 = 1 . 658 008 = 658 008
1 par e 4 impares: C40,1 . C40,4 = 40 . 91 390 = 3 655 600
2 pares e 3 impares: C40,2 . C40,3 = 780 . 9 880 = 7 706 400
3 pares e 2 impares: C40,3 . C40,2 = 9 880 . 780 = 7 706 400
4 pares e 1 impar: C40,4 . C40,1 = 91 390 . 40 = 3 655 600
5 pares e 0 impar: C40,5 . c40,0 = 658 008 . 1 = 658 008
Note que: 658 008 + 3 655 600 + 7 706 400 + 7 706 400 + 3 655 600 + 658 008 = 24 040 016
LOTOFÁCIL
Segundo as probabilidades matemáticas, fazendo a aposta única (marcando 15 dezenas), as chances de acertar na Lotofácil são:
15 dezenas
P15 = 1/C25,15 = 1/3 268 760
14 dezenas
P14 = C15,14 . C10,1/ C25,15 = 15 . 10/3 268 760 = 150/3 268 760 = 1/21 791
13 dezenas
P13 = C15,13 . C10,2/ C25,15 = 105 . 45/3 268 760 = 4 725/3 268 760 = 1/691
12 dezenas
P12 = C15,12 . C10,3/ C25,15 = 455 . 120/3 268 760 = 54 600/3 268 760 = 1/59
11 dezenas
P11 = C15,11 . C10,4/ C25,15 = 1 365 . 210/3 268 760 =286 650/3 268 760 = 1/ 11
LOTOFÁCIL
Quantidade de cartões que podem ser formados com 12 dezenas pares e 13 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C25,15 = 3 268 760
2 pares e 13 ímpares: C12,2 . C13,13 = 66 . 1 = 66
3 pares e 12 ímpares: C12,3 . C13,12 = 220 . 13 = 2 860
4 pares e 11 ímpares: C12,4 . C13,11 = 495 . 78 = 38 610
5 pares e 10 ímpares: C12,5 . C13,10 = 792 . 286 = 226 512
6 pares e 9 ímpares: C12,6 . C13,9 =924 . 715 = 660 660
7 pares e 8 ímpares: C12,7 . C13,8 = 792 . 1 287 = 1 019 304
8 pares e 7 ímpares: C12,8 . C13,7 = 495 . 1 716 = 849 420
9 pares e 6 ímpares: C12,9 . C13,6 = 220 . 1 716 = 377 520
10 pares e 5 ímpares: C12,10 . C13,5 = 66 . 1 287 = 84 942
11 pares e 4 ímpares: C12,11 . C13,4 = 12 . 715 = 8 580
12 pares e 3 ímpares: C12,12 . C13,3 = 1 . 286 = 286
Note que: 66 + 2 860 + 38 610 + 226 512 + 660 660 + 1 019 304 + 849 420 + 377 520 + 84 942 + 8 580 + 286 = 3 268 760
CRONOGRAMA (PLANO) DE ATIVIDADES (MENSAL E SEMANAL) MODALIDADE: PRESENCIAL
CARGA HORÁRIA: 60 h/a
PERÍODO TOTAL DE EXECUÇÃO DO PROJETO: 3 MESES
JUNHO/2010
01.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória
-Fatorial de um número natural (definição e exemplos);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo fatorial de um número natural.
08.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória (término):
-Combinações simples (definição e fórmula de combinações simples);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo combinações simples.
15.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Probabilidade:
-Elementos do estudo das probabilidades (experimento aleatório, espaço amostral e evento);
-Probabilidade.
Lotofácil
22.06.2010 (4 h/a):
-Regulamento da lotofácil;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a lotofácil (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na lotofácil.
29.06.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil.
JULHO/2010
06.07.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil (término).
Mega sena
13.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da mega sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a mega sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na mega sena.
14.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
20.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena (término).
Quina
27.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da quina;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a quina (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na quina.
AGOSTO/2010
03.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
10.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da quina (término).
Dupla sena
17.08.2010 (4 h/a):
-Regulamento da dupla sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a dupla sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na dupla sena.
24.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena.
31.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena (término).
CRONOGRAMA DE ATIVIDADES (À DISTÂNCIA)
CARGA HORÁRIA: 20 h/a
JULHO/2010
01.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da lotofácil, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
08.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da mega sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
15.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da quina, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
22.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da dupla sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
29.07.2010 (4 h/a):
-Pesquisar (no Google) no mínimo 5 sites especializados em loterias.
-Pesquisar (no Golgle) alguns softwares usados para combinar números e gerar apostas das loterias da Caixa citadas aqui.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas, vol. 3. Atual Editora, 2000.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações, ensino médio, vol. 2; 2ª ed. Ática, 2001.
[3] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5; 6ª ed. Atual Editora, 2000.
quinta-feira, 3 de setembro de 2009
AVISOS/LEMBRETES
A aula do G.E.M. foi transferida para toda quarta-feira, pontualmente às 7 da noite.
quarta-feira, 8 de julho de 2009
FRASES MATEMÁTICAS
O espaço é o objeto que o geômetra deve estudar. (Henri Poincaré)
Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe Geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Blaise Pascal)
A Matemática é a honra do espírito humano. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu Galilei)
Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade. (Emile Lemoine)
O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro matemático. (James Jeans)
Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza. (Bertrand Russel)
Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática: os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon)
Ninguém jamais nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós. (David Hilbert)
Ninguém jamais ampliou tanto os limites da compreensão humana quanto Newton. (Paul Strathern)
Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Wilhelm Theodor Weierstrass)
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. (Nikolai Ivanovich Lobachevsky)
Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura. (Hermann Hankel)
Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. (Y. Jurquim)
Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
A Matemática é a rainha das ciências e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática. (Johann Carl Friedrich Gauss)
A Álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. (Jean Le Rond d'Alembert)
O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo. (Roger Bacon)
A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard)
Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. (Irene de Albuquerque)
Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática. (Matila Ghyka)
Matemática - a inabalável base das ciências e a abundante fonte do progresso nos negócios humanos. (Isaac Barrow)
Uma geometria não pode ser mais verdadeira do que outra; poderá ser apenas mais cômoda. (Henri Poincaré)
De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para eu resolver? (Augustin Louis Cauchy)
Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático. (Bertrand Russel)
Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! (Gallagher)
Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base. (Auguste Conte)
Toda a minha Física não passa de uma Geometria. (René Descartes)
As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. (Johannes Kepler)
A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. (Charles-Ange Laisant)
Zero: o nada que é tudo. (Charles-Ange Laisant)
A essência da Matemática é a liberdade. (Leopold Kronecker)
Nota-se entre os matemáticos, uma imaginação assombrosa! Repetimos: Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes do que na de Homero. (François Voltaire)
Eis a Matemática – a criação mais original do engenho humano. (Alfred North Whitehead)
A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo. (Pitágoras)
A Física é a poesia da natureza; a Matemática, o idioma. (Antônio Gomes Lacerda)
Faça de sua vida uma verdadeira Matemática: some as alegrias, diminua as tristezas, multiplique seu amor e divida comigo. (Izadora Eunice)
Antes de morrer, eu só quero que me deem dez problemas de Matemática pra eu resolver. (David Hilbert)
A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)
Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe Geometria é superior ao outro e adquire um vigor especial. (Blaise Pascal)
A Matemática é a honra do espírito humano. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e símbolos matemáticos. (Galileu Galilei)
Uma verdade matemática não é simples nem complicada por si mesma. É uma verdade. (Emile Lemoine)
O grande arquiteto do Universo começa a parecer-nos um puro matemático. (James Jeans)
Deus é o Geômetra Onipotente para quem o mundo é imenso problema matemático. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
A Matemática, quando a compreendemos bem, possui não somente a verdade, mas também a suprema beleza. (Bertrand Russel)
Existe um paralelismo fiel entre o progresso social e a atividade matemática: os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. (Jacques Chapellon)
Ninguém jamais nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós. (David Hilbert)
Ninguém jamais ampliou tanto os limites da compreensão humana quanto Newton. (Paul Strathern)
Nunca será um verdadeiro matemático aquele que não for um pouco de poeta. (Karl Wilhelm Theodor Weierstrass)
Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real. (Nikolai Ivanovich Lobachevsky)
Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura. (Hermann Hankel)
Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. (Y. Jurquim)
Tomando a Matemática desde o início do mundo até o tempo de Newton, o que ele fez é de longe a melhor metade. (Gottfried Wilhelm von Leibniz)
A Matemática é a rainha das ciências e a Teoria dos Números é a rainha da Matemática. (Johann Carl Friedrich Gauss)
A Álgebra é generosa: frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. (Jean Le Rond d'Alembert)
O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo. (Roger Bacon)
A Matemática é a mais simples, a mais perfeita e a mais antiga de todas as ciências. (Jacques Hadarmard)
Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. (Irene de Albuquerque)
Aquele que deseja estudar ou exercer a Magia deve cultivar a Matemática. (Matila Ghyka)
Matemática - a inabalável base das ciências e a abundante fonte do progresso nos negócios humanos. (Isaac Barrow)
Uma geometria não pode ser mais verdadeira do que outra; poderá ser apenas mais cômoda. (Henri Poincaré)
De que me irei ocupar no céu, durante toda a Eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de Matemática para eu resolver? (Augustin Louis Cauchy)
Para criar uma filosofia só é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático. (Bertrand Russel)
Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! (Gallagher)
Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base. (Auguste Conte)
Toda a minha Física não passa de uma Geometria. (René Descartes)
As leis da natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus. (Johannes Kepler)
A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. (Charles-Ange Laisant)
Zero: o nada que é tudo. (Charles-Ange Laisant)
A essência da Matemática é a liberdade. (Leopold Kronecker)
Nota-se entre os matemáticos, uma imaginação assombrosa! Repetimos: Havia mais imaginação na cabeça de Arquimedes do que na de Homero. (François Voltaire)
Eis a Matemática – a criação mais original do engenho humano. (Alfred North Whitehead)
A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo. (Pitágoras)
A Física é a poesia da natureza; a Matemática, o idioma. (Antônio Gomes Lacerda)
Faça de sua vida uma verdadeira Matemática: some as alegrias, diminua as tristezas, multiplique seu amor e divida comigo. (Izadora Eunice)
Antes de morrer, eu só quero que me deem dez problemas de Matemática pra eu resolver. (David Hilbert)
A escada da Sabedoria tem os degraus feitos de números. (Blavatsky)
quinta-feira, 19 de fevereiro de 2009
DADOS PESSOAIS
AURILÂNIO NOBRE DA CUNHA
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