PROJETO - BOLSA FUNCAP 2010
TÍTULO DO PROJETO
Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa
AUTOR DO PRJETO: AURILÂNIO NOBRE DA CUNHA
OBJETIVOS E METAS
Objetivos:
Mostrar como a Matemática (especialmente a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades) é utilizada nas loterias, enfatizando a contextualização dos conteúdos, tão defendida pelos PCNs.
Demonstrar que os cálculos probabilísticos que envolvem as loterias (citadas aqui) são feitos por meio de combinações simples.
Apresentar aos interessados (e curiosos em geral) quais as chances que eles têm de ganhar ao apostar (de diferentes maneiras) nas loterias citadas aqui.
Metas:
Mostrar como são feitos os cálculos das probabilidades de se ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
Apresentar aos interessados pelas loterias da Caixa Econômica Federal (e curiosos em geral) as chances que eles têm de ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
JUSTIFICATIVA
Ganhar na loteria, especialmente na mega sena, sempre foi o sonho de muitos brasileiros. Essas pessoas, na maioria das vezes, contando cegamente com a sorte, fazem de tudo para conseguir a façanha, quase que impossível, de mudar radicalmente suas vidas de um dia para o outro acertando as dezenas da loteria, principalmente quando se trata de uma loteria que paga muito dinheiro (a mega sena, por exemplo).
Quando tratamos de loterias, torna-se inevitável a relação com Análise Combinatória e Probabilidade, visto que a Teoria das Probabilidades, tal como conhecemos hoje, teve seu inicio com os jogos de azar.
Historicamente, temos relatos que Girolamo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, o jogo de dados.
Depois disso, o matemático francês Blaise Pascal (1623-1662), procurado por um amigo e fanático jogador chamado Chevalier de Meré sobre o jogo de dados, manteve correspondência com outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Dessa correspondência entre Pascal e Fermat e de seus trabalhos sobre várias situações de jogos de azar, é que evoluiu a Teoria das Probabilidades.
Matemáticos como o holandês Christiaan Huygens (1629-1695), que escreveu o primeiro livro da história sobre probabilidades, como o francês Abraham de Moivre (1667-1754), que escreveu Doutrina das probabilidades e como Jacob Bernoulli (1654-1705) também contribuíram, de forma direta ou indireta, com o desenvolvimento das probabilidades. Mais tarde, o matemático francês Leonard Euller (1707-1783) e o matemático francês Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidade aplicada à Economia, Ciências Sociais e às loterias.
Este trabalho, apoiado na Análise Combinatória e na Teoria das Probabilidades se promove a demonstrar, até certo ponto, os cálculos probabilísticos que envolvem algumas loterias da Caixa Econômica Federal. Não pretendo aqui mostrar um tratado profundo de Probabilidade, pois sabemos que esse ramo da Matemática é demasiadamente complexo, e sim mostrar que um problema simples, como por exemplo, a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar na mega sena jogando um cartão com 6 dezenas, pode ser resolvido.
A relevância deste trabalho reside no fato de o mesmo apresentar às pessoas, mesmo as que não têm muita afinidade com os cálculos matemáticos, mas são curiosos e gostam de loterias, quais as chances que elas têm de ganhar ao tentar a sorte apostando nas loterias da Caixa citadas aqui.
Obs.: As referências aos matemáticos feitas aqui foram baseadas numa nota histórica de Luiz Roberto Dante em sua coleção Matemática: contexto e aplicações, volume 2, editora Ática, página 466, ano 2001.
METODOLOGIA
Antes de elaborar este trabalho, tive que escolher os livros que iriam fundamentar minha pesquisa, livros estes que estão citados nas referências bibliográficas abaixo. Em seguida, estudei-os com afinco e dedicação a fim de elaborar todos os cálculos envolvidos na mega sena, dupla sena, quina e lotofácil. O resultado de todo este esforço está demonstrado nos cálculos abaixo:
MEGA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Mega Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = 1/C60,6 = 1/50 063 860
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5 . C54,1/ C60,6 = 6 . 54/50 063 860 = 324/50 063 860 = 1/154 518
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C54,2/ C60,6 = 15 . 1 431/50 063 860 = 21 465/50 063 860 = 1/2 332
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C7,6/ C60,6 = 7/50 063 860 = 1/7 151 980
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5 . C53,1/ C60,6 = 21 . 53/50 063 860 = 1 113/50 063 860 = 1/44 981
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7,4 . C53,2/ C60,6 = 35 . 1 378/50 063 860 = 48 230/50 063 860 = 1/1 038
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C8,6/ C60,6 = 28/50 063 860 = 1/1 787 995
Quina (5 dezenas):
P5 = C8,5 . C52,1/ C60,6 = 56 . 52/50 063 860 = 2 912/50 063 860 = 1/17 192
Quadra (4 dezenas):
P4 = C8,4 . C52,2/ C60,6 = 70 . 1 326/50 063 860 = 92 820/50 063 860 = 1/539
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C9,6/C60,6 = 84 /50 063 860 = 1/595 998
Quina (5 dezenas):
P5 = C9,5. C51,1/ C60,6 = 126 . 51/50 063 860 = 6 426/50 063 860 = 1/7 791
Quadra (4 dezenas):
P4 = C9,4 . C51,2/ C60,6 = 126/1 275/50 063 860 = 160 650/50 063 860 = 1/312
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C10,6/C60,6 = 210/50 063 860 = 1/238 399
Quina (5 dezenas):
P5 = C10,5 . C50,1/ C60,6 = 252 . 50/50 063 860 = 12 600/50 063 860 = 1/3 973
Quadra (4 dezenas):
P4 = C10,4 . C50,2/ C60,6 = 210 . 1 225/50 063 860 = 257 250/50 063 860 = 1/195
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C11,6/C60,6 = 462/50 063 860 = 1/108 363
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C49,1/c60,6 = 462 . 49/50 063 860 = 22 638/50 063 860 = 1/2 211
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C49,2//c60,6 = 330 . 1 176/50 063 860 = 388 080/50 063 860 = 1/129
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C12,6/C60,6 = 924/50 063 860 = 1/54 182
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C48,1/c60,6 = 792 . 48/50 063 860 = 38 016/50 063 860 = 1/1 317
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C48,2//c60,6 = 495 . 1 128/50 063 860 = 558 360/50 063 860 = 1/90
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C13,6/C60,6 = 1 716/50 063 860 = 1/29 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C47,1/c60,6 = 1 287 . 47/50 063 860 = 60 489/50 063 860 = 1/828
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C47,2//c60,6 = 715 . 1 081/50 063 860 = 772 915/50 063 860 = 1/65
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C14,6/C60,6 = 3 003/50 063 860 = 1/16 671
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C46,1/c60,6 = 2 002 . 46/50 063 860 = 92 092/50 063 860 = 1/544
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C46,2/c60,6 = 1 001 . 1 035/50 063 860 = 1 036 035/50 063 860 = 1/48
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas ):
P6 = C15,6/C60,6 = 5 005/50 063 860 = 1/10 003
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C45,1/c60,6 = 3 003 . 45/50 063 860 = 135 135/50 063 860 = 1/370
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C45,2//c60,6 = 1 365 . 990/50 063 860 = 1 351 350/50 063 860 = 1/37
MEGA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 30 dezenas pares e 30 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C60,6 = 50 063 860
0 par e 6 ímpares: C30,0 . C30,6 = 1 . 593 775 = 593 775
1 par e 5 ímpares: C30,1 . C30,5 = 30 . 142 506 = 4 275 180
2 pares e 4 ímpares: C30,2 . C30,4 = 435 . 27 405 = 11 921 175
3 pares e 3 ímpares: C30,3 . C30,3 = 4 060 . 4 060 = 16 483 600
4 pares e 2 ímpares: C30,4 . C30,2 = 27 405 . 435 = 11 921 175
5 pares e 1 ímpar: C30,5 . C30,1 = 142 506 . 30 = 4 275 180
6 pares e 0 ímpar: C30,6 . C30,0 = 593 775 . 1 = 593 775
Note que: 593 775 + 4 275 180 + 11 921 175 + 16 483 600 + 11 921 175 + 4 275 180 + 593 775 = 50 063 860
DUPLA SENA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Dupla Sena são:
Cartão com 6 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = 1/C50,6 = 1/15 890 700
Quina (5 dezenas)
P5 = C6,5 . C44,1/ C50,6 = 6 . 44/15 890 700 = 264/15 890 700 = 1/60 192
Quadra (4 dezenas)
P4 = C6,4 . C44,2/C50,6 = 15 . 946/15 890 700 = 14 190/15 890 700 = 1/1 120
Cartão com 7 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C7,6/C50,6 = 7/15 890 700 = 1/2 270 100
Quina (5 dezenas)
P5 = C7,5 . C43,1/ C50,6 = 21 . 43/15 890 700 = 903/15 890 700 = 1/17 598
Quadra (4 dezenas)
P4 = C7,4 . C43,2/C50,6 = 35 . 903/15 890 700 = 31 605/15 890 700 = 1/503
Cartão com 8 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C8,6/C50,6 = 28/15 890 700 = 1/567 525
Quina (5 dezenas)
P5 = C8,5 . C42,1/ C50,6 = 56 . 42/15 890 700 = 2 352/15 890 700 = 1/6 756
Quadra (4 dezenas)
P4 = C8,4 . C42,2/C50,6 = 70 . 861/15 890 700 = 60 270/15 890 700 = 1/264
Cartão com 9 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C9,6/C50,6 = 84/15 890 700 = 1/189 175
Quina (5 dezenas)
P5 = C9,5 . C41,1/ C50,6 = 126 . 41/15 890 700 = 5 166/15 890 700 = 1/3 076
Quadra (4 dezenas)
P4 = C9,4 . C41,2/C50,6 = 126 . 820/15 890 700 = 103 320/15 890 700 = 1/154
Cartão com 10 dezenas
Sena (6 dezenas)
P6 = C10,6/C50,6 = 210/15 890 700 = 1/75 670
Quina (5 dezenas)
P5 = C10,5 . C40,1/ C50,6 = 252 . 40/15 890 700 = 10 080/15 890 700 = 1/1 576
Quadra (4 dezenas)
P4 = C10,4 . C40,2/C50,6 = 210 . 780/15 890 700 = 163 800/15 890 700 = 1/97
Cartão com 11 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C11,6/C50,6 = 462/15 890 700 = 1/34 395
Quina (5 dezenas):
P5 = C11,5 . C39,1/ C50,6 = 462 . 39/15 890 700 = 18 018/15 890 700 = 1/882
Quadra (4 dezenas):
P4 = C11,4 . C39,2/C50,6 = 330 . 741/15 890 700 = 244 530/15 890 700 = 1/65
Cartão com 12 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C12,6/C50,6 = 924/15 890 700 = 1/17 198
Quina (5 dezenas):
P5 = C12,5 . C38,1/ C50,6 = 792 . 38/15 890 700 = 30 096/15 890 700 = 1/528
Quadra (4 dezenas):
P4 = C12,4 . C38,2/C50,6 = 495 . 703/15 890 700 = 347 985/15 890 700 = 1/46
Cartão com 13 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C13,6/C50,6 = 1 716/15 890 700 = 1/9 260
Quina (5 dezenas):
P5 = C13,5 . C37,1/ C50,6 = 1 287 . 37/15 890 700 = 47 619/15 890 700 =1/334
Quadra (4 dezenas):
P4 = C13,4 . C37,2/C50,6 = 715 . 666/15 890 700 = 476 190/15 890 700 = 1/34
Cartão com 14 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C14,6/C50,6 = 3003/15 890 700 = 1/5 292
Quina (5 dezenas):
P5 = C14,5 . C36,1/ C50,6 = 2 002 . 36/15 890 700 =72 072/15 890 700 =1/220
Quadra (4 dezenas):
P4 = C14,4 . C36,2/C50,6 = 1 001 . 630/15 890 700 =630 630/15 890 700 = 1/25
Cartão com 15 dezenas
Sena (6 dezenas):
P6 = C15,6/C50,6 = 5 005/15 890 700 =1/3 175
Quina (5 dezenas):
P5 = C15,5 . C35,1/ C50,6 =3 003 . 35/15 890 700 = 105 105/15 890 700 = 1/151
Quadra (4 dezenas):
P4 = C15,4 . C35,2/C50,6 = 1 365 . 595/15 890 700 = 812 175/15 890 700 = 1/20
DUPLA SENA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 25 dezenas pares e 25 dezenas ímpares.
Quantidade de resultados possíveis: C50,6 = 15 890 700
0 par e 6 impares: C25,0 . C25,6 = 1 . 177 100 = 177 100
1 par e 5 impares: C25,1 . C25.5 = 25 . 53 130 = 1 328 250
2 pares e 4 impares: C25,2 , C25,4 = 300 . 12 650 = 3 795 000
3 pares e 3 impares: C25.3 . C25,3 = 2 300 . 2 300 = 5 290 000
4 pares e 2 impares: C25,4 . C25,2 = 12 650 . 300 = 3 795 000
5 pares e 1 impar: C25,5 . C25,1 = 53 130 . 25 = 1 328 250
6 pares e 0 impar: C25,6 . C25,0 = 177 100 . 1 = 177 100
Note que: 177 100 + 1 328 250 + 3 795 000 + 5 290 000 + 3 795 000 + 1 328 250 + 177 100 = 15 890 700
QUINA
Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Quina são:
Cartão com 5 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = 1/C80,5 = 1/24 040 016
Quadra (4 dezenas):
P4 = C5,4 . C75,1/ C80,5 = 5 . 75/24 040 016 = 375/24 040 016 = 1/64 106
Terno (3 dezenas):
P3 = C5,3 . C75,2/ C80,5 = 10 . 2 775/24 040 016 = 27 750/24 040 016 = 1/866
Cartão com 6 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C6,5/ C80,5 = 6/24 040 016 = 1/4 006 669
Quadra (4 dezenas):
P4 = C6,4 . C74,1/ C80,5 = 15 . 74/24 040 016 = 1 110/24 040 016 = 1/21 658
Terno (3 dezenas):
P3 = C6,3 . C74,2/ C80,5 = 20 . 2 701/24 040 016. = 54 020/24 040 016 = 1/445
Cartão com 7 dezenas
Quina (5 dezenas):
P5 = C7,5/ C80,5 = 21/24 040 016 = 1/1 144 763
Quadra (4 dezenas):
P4 = C7 ,4 . C73,1/ C80,5 = 35 . 73/24 040 016 = 2 555/24 040 016 = 1/9 409
Terno (3 dezenas):
P3 = C7,3 . C73,2/ C80,5 = 35 . 2 628/24 040 016 = 91 980/24 040 016 = 1/261
QUINA
Quantidade de cartões que podem ser formados com 40 dezenas pares e 40 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C80,5 = 24 040 016
0 par e 5 impares: C40,0 . C40,5 = 1 . 658 008 = 658 008
1 par e 4 impares: C40,1 . C40,4 = 40 . 91 390 = 3 655 600
2 pares e 3 impares: C40,2 . C40,3 = 780 . 9 880 = 7 706 400
3 pares e 2 impares: C40,3 . C40,2 = 9 880 . 780 = 7 706 400
4 pares e 1 impar: C40,4 . C40,1 = 91 390 . 40 = 3 655 600
5 pares e 0 impar: C40,5 . c40,0 = 658 008 . 1 = 658 008
Note que: 658 008 + 3 655 600 + 7 706 400 + 7 706 400 + 3 655 600 + 658 008 = 24 040 016
LOTOFÁCIL
Segundo as probabilidades matemáticas, fazendo a aposta única (marcando 15 dezenas), as chances de acertar na Lotofácil são:
15 dezenas
P15 = 1/C25,15 = 1/3 268 760
14 dezenas
P14 = C15,14 . C10,1/ C25,15 = 15 . 10/3 268 760 = 150/3 268 760 = 1/21 791
13 dezenas
P13 = C15,13 . C10,2/ C25,15 = 105 . 45/3 268 760 = 4 725/3 268 760 = 1/691
12 dezenas
P12 = C15,12 . C10,3/ C25,15 = 455 . 120/3 268 760 = 54 600/3 268 760 = 1/59
11 dezenas
P11 = C15,11 . C10,4/ C25,15 = 1 365 . 210/3 268 760 =286 650/3 268 760 = 1/ 11
LOTOFÁCIL
Quantidade de cartões que podem ser formados com 12 dezenas pares e 13 dezenas ímpares
Quantidade de resultados possíveis: C25,15 = 3 268 760
2 pares e 13 ímpares: C12,2 . C13,13 = 66 . 1 = 66
3 pares e 12 ímpares: C12,3 . C13,12 = 220 . 13 = 2 860
4 pares e 11 ímpares: C12,4 . C13,11 = 495 . 78 = 38 610
5 pares e 10 ímpares: C12,5 . C13,10 = 792 . 286 = 226 512
6 pares e 9 ímpares: C12,6 . C13,9 =924 . 715 = 660 660
7 pares e 8 ímpares: C12,7 . C13,8 = 792 . 1 287 = 1 019 304
8 pares e 7 ímpares: C12,8 . C13,7 = 495 . 1 716 = 849 420
9 pares e 6 ímpares: C12,9 . C13,6 = 220 . 1 716 = 377 520
10 pares e 5 ímpares: C12,10 . C13,5 = 66 . 1 287 = 84 942
11 pares e 4 ímpares: C12,11 . C13,4 = 12 . 715 = 8 580
12 pares e 3 ímpares: C12,12 . C13,3 = 1 . 286 = 286
Note que: 66 + 2 860 + 38 610 + 226 512 + 660 660 + 1 019 304 + 849 420 + 377 520 + 84 942 + 8 580 + 286 = 3 268 760
CRONOGRAMA (PLANO) DE ATIVIDADES (MENSAL E SEMANAL) MODALIDADE: PRESENCIAL
CARGA HORÁRIA: 60 h/a
PERÍODO TOTAL DE EXECUÇÃO DO PROJETO: 3 MESES
JUNHO/2010
01.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória
-Fatorial de um número natural (definição e exemplos);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo fatorial de um número natural.
08.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória (término):
-Combinações simples (definição e fórmula de combinações simples);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo combinações simples.
15.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Probabilidade:
-Elementos do estudo das probabilidades (experimento aleatório, espaço amostral e evento);
-Probabilidade.
Lotofácil
22.06.2010 (4 h/a):
-Regulamento da lotofácil;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a lotofácil (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na lotofácil.
29.06.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil.
JULHO/2010
06.07.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil (término).
Mega sena
13.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da mega sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a mega sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na mega sena.
14.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
20.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena (término).
Quina
27.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da quina;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a quina (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na quina.
AGOSTO/2010
03.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.
10.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da quina (término).
Dupla sena
17.08.2010 (4 h/a):
-Regulamento da dupla sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a dupla sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na dupla sena.
24.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena.
31.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena (término).
CRONOGRAMA DE ATIVIDADES (À DISTÂNCIA)
CARGA HORÁRIA: 20 h/a
JULHO/2010
01.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da lotofácil, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
08.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da mega sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
15.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da quina, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
22.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da dupla sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).
29.07.2010 (4 h/a):
-Pesquisar (no Google) no mínimo 5 sites especializados em loterias.
-Pesquisar (no Golgle) alguns softwares usados para combinar números e gerar apostas das loterias da Caixa citadas aqui.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas, vol. 3. Atual Editora, 2000.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações, ensino médio, vol. 2; 2ª ed. Ática, 2001.
[3] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5; 6ª ed. Atual Editora, 2000.
terça-feira, 11 de maio de 2010
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