terça-feira, 11 de maio de 2010

Projeto "Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa"

PROJETO - BOLSA FUNCAP 2010

TÍTULO DO PROJETO
Combinatória e Probabilidade nas loterias da Caixa

AUTOR DO PRJETO: AURILÂNIO NOBRE DA CUNHA


OBJETIVOS E METAS

Objetivos:
Mostrar como a Matemática (especialmente a Análise Combinatória e a Teoria das Probabilidades) é utilizada nas loterias, enfatizando a contextualização dos conteúdos, tão defendida pelos PCNs.
Demonstrar que os cálculos probabilísticos que envolvem as loterias (citadas aqui) são feitos por meio de combinações simples.
Apresentar aos interessados (e curiosos em geral) quais as chances que eles têm de ganhar ao apostar (de diferentes maneiras) nas loterias citadas aqui.

Metas:
Mostrar como são feitos os cálculos das probabilidades de se ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.
Apresentar aos interessados pelas loterias da Caixa Econômica Federal (e curiosos em geral) as chances que eles têm de ganhar na mega sena, na dupla sena, na quina e na lotofácil.


JUSTIFICATIVA

Ganhar na loteria, especialmente na mega sena, sempre foi o sonho de muitos brasileiros. Essas pessoas, na maioria das vezes, contando cegamente com a sorte, fazem de tudo para conseguir a façanha, quase que impossível, de mudar radicalmente suas vidas de um dia para o outro acertando as dezenas da loteria, principalmente quando se trata de uma loteria que paga muito dinheiro (a mega sena, por exemplo).
Quando tratamos de loterias, torna-se inevitável a relação com Análise Combinatória e Probabilidade, visto que a Teoria das Probabilidades, tal como conhecemos hoje, teve seu inicio com os jogos de azar.
Historicamente, temos relatos que Girolamo Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, o jogo de dados.
Depois disso, o matemático francês Blaise Pascal (1623-1662), procurado por um amigo e fanático jogador chamado Chevalier de Meré sobre o jogo de dados, manteve correspondência com outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665). Dessa correspondência entre Pascal e Fermat e de seus trabalhos sobre várias situações de jogos de azar, é que evoluiu a Teoria das Probabilidades.
Matemáticos como o holandês Christiaan Huygens (1629-1695), que escreveu o primeiro livro da história sobre probabilidades, como o francês Abraham de Moivre (1667-1754), que escreveu Doutrina das probabilidades e como Jacob Bernoulli (1654-1705) também contribuíram, de forma direta ou indireta, com o desenvolvimento das probabilidades. Mais tarde, o matemático francês Leonard Euller (1707-1783) e o matemático francês Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) desenvolveram outros estudos sobre probabilidade aplicada à Economia, Ciências Sociais e às loterias.
Este trabalho, apoiado na Análise Combinatória e na Teoria das Probabilidades se promove a demonstrar, até certo ponto, os cálculos probabilísticos que envolvem algumas loterias da Caixa Econômica Federal. Não pretendo aqui mostrar um tratado profundo de Probabilidade, pois sabemos que esse ramo da Matemática é demasiadamente complexo, e sim mostrar que um problema simples, como por exemplo, a probabilidade que uma pessoa tem de ganhar na mega sena jogando um cartão com 6 dezenas, pode ser resolvido.
A relevância deste trabalho reside no fato de o mesmo apresentar às pessoas, mesmo as que não têm muita afinidade com os cálculos matemáticos, mas são curiosos e gostam de loterias, quais as chances que elas têm de ganhar ao tentar a sorte apostando nas loterias da Caixa citadas aqui.

Obs.: As referências aos matemáticos feitas aqui foram baseadas numa nota histórica de Luiz Roberto Dante em sua coleção Matemática: contexto e aplicações, volume 2, editora Ática, página 466, ano 2001.

METODOLOGIA

Antes de elaborar este trabalho, tive que escolher os livros que iriam fundamentar minha pesquisa, livros estes que estão citados nas referências bibliográficas abaixo. Em seguida, estudei-os com afinco e dedicação a fim de elaborar todos os cálculos envolvidos na mega sena, dupla sena, quina e lotofácil. O resultado de todo este esforço está demonstrado nos cálculos abaixo:


MEGA SENA

Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Mega Sena são:

Cartão com 6 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = 1/C60,6 = 1/50 063 860

Quina (5 dezenas):

P5 = C6,5 . C54,1/ C60,6 = 6 . 54/50 063 860 = 324/50 063 860 = 1/154 518

Quadra (4 dezenas):

P4 = C6,4 . C54,2/ C60,6 = 15 . 1 431/50 063 860 = 21 465/50 063 860 = 1/2 332

Cartão com 7 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C7,6/ C60,6 = 7/50 063 860 = 1/7 151 980

Quina (5 dezenas):

P5 = C7,5 . C53,1/ C60,6 = 21 . 53/50 063 860 = 1 113/50 063 860 = 1/44 981

Quadra (4 dezenas):

P4 = C7,4 . C53,2/ C60,6 = 35 . 1 378/50 063 860 = 48 230/50 063 860 = 1/1 038

Cartão com 8 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C8,6/ C60,6 = 28/50 063 860 = 1/1 787 995

Quina (5 dezenas):

P5 = C8,5 . C52,1/ C60,6 = 56 . 52/50 063 860 = 2 912/50 063 860 = 1/17 192

Quadra (4 dezenas):

P4 = C8,4 . C52,2/ C60,6 = 70 . 1 326/50 063 860 = 92 820/50 063 860 = 1/539

Cartão com 9 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C9,6/C60,6 = 84 /50 063 860 = 1/595 998

Quina (5 dezenas):

P5 = C9,5. C51,1/ C60,6 = 126 . 51/50 063 860 = 6 426/50 063 860 = 1/7 791



Quadra (4 dezenas):

P4 = C9,4 . C51,2/ C60,6 = 126/1 275/50 063 860 = 160 650/50 063 860 = 1/312


Cartão com 10 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C10,6/C60,6 = 210/50 063 860 = 1/238 399

Quina (5 dezenas):

P5 = C10,5 . C50,1/ C60,6 = 252 . 50/50 063 860 = 12 600/50 063 860 = 1/3 973

Quadra (4 dezenas):

P4 = C10,4 . C50,2/ C60,6 = 210 . 1 225/50 063 860 = 257 250/50 063 860 = 1/195


Cartão com 11 dezenas

Sena (6 dezenas ):

P6 = C11,6/C60,6 = 462/50 063 860 = 1/108 363

Quina (5 dezenas):

P5 = C11,5 . C49,1/c60,6 = 462 . 49/50 063 860 = 22 638/50 063 860 = 1/2 211

Quadra (4 dezenas):

P4 = C11,4 . C49,2//c60,6 = 330 . 1 176/50 063 860 = 388 080/50 063 860 = 1/129


Cartão com 12 dezenas

Sena (6 dezenas ):

P6 = C12,6/C60,6 = 924/50 063 860 = 1/54 182

Quina (5 dezenas):

P5 = C12,5 . C48,1/c60,6 = 792 . 48/50 063 860 = 38 016/50 063 860 = 1/1 317
Quadra (4 dezenas):

P4 = C12,4 . C48,2//c60,6 = 495 . 1 128/50 063 860 = 558 360/50 063 860 = 1/90


Cartão com 13 dezenas

Sena (6 dezenas ):

P6 = C13,6/C60,6 = 1 716/50 063 860 = 1/29 175

Quina (5 dezenas):

P5 = C13,5 . C47,1/c60,6 = 1 287 . 47/50 063 860 = 60 489/50 063 860 = 1/828

Quadra (4 dezenas):

P4 = C13,4 . C47,2//c60,6 = 715 . 1 081/50 063 860 = 772 915/50 063 860 = 1/65


Cartão com 14 dezenas

Sena (6 dezenas ):

P6 = C14,6/C60,6 = 3 003/50 063 860 = 1/16 671

Quina (5 dezenas):

P5 = C14,5 . C46,1/c60,6 = 2 002 . 46/50 063 860 = 92 092/50 063 860 = 1/544

Quadra (4 dezenas):

P4 = C14,4 . C46,2/c60,6 = 1 001 . 1 035/50 063 860 = 1 036 035/50 063 860 = 1/48


Cartão com 15 dezenas

Sena (6 dezenas ):

P6 = C15,6/C60,6 = 5 005/50 063 860 = 1/10 003

Quina (5 dezenas):

P5 = C15,5 . C45,1/c60,6 = 3 003 . 45/50 063 860 = 135 135/50 063 860 = 1/370
Quadra (4 dezenas):

P4 = C15,4 . C45,2//c60,6 = 1 365 . 990/50 063 860 = 1 351 350/50 063 860 = 1/37


MEGA SENA

Quantidade de cartões que podem ser formados com 30 dezenas pares e 30 dezenas ímpares

Quantidade de resultados possíveis: C60,6 = 50 063 860

0 par e 6 ímpares: C30,0 . C30,6 = 1 . 593 775 = 593 775

1 par e 5 ímpares: C30,1 . C30,5 = 30 . 142 506 = 4 275 180

2 pares e 4 ímpares: C30,2 . C30,4 = 435 . 27 405 = 11 921 175

3 pares e 3 ímpares: C30,3 . C30,3 = 4 060 . 4 060 = 16 483 600

4 pares e 2 ímpares: C30,4 . C30,2 = 27 405 . 435 = 11 921 175

5 pares e 1 ímpar: C30,5 . C30,1 = 142 506 . 30 = 4 275 180

6 pares e 0 ímpar: C30,6 . C30,0 = 593 775 . 1 = 593 775


Note que: 593 775 + 4 275 180 + 11 921 175 + 16 483 600 + 11 921 175 + 4 275 180 + 593 775 = 50 063 860


DUPLA SENA

Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Dupla Sena são:

Cartão com 6 dezenas

Sena (6 dezenas)

P6 = 1/C50,6 = 1/15 890 700

Quina (5 dezenas)

P5 = C6,5 . C44,1/ C50,6 = 6 . 44/15 890 700 = 264/15 890 700 = 1/60 192
Quadra (4 dezenas)

P4 = C6,4 . C44,2/C50,6 = 15 . 946/15 890 700 = 14 190/15 890 700 = 1/1 120


Cartão com 7 dezenas

Sena (6 dezenas)

P6 = C7,6/C50,6 = 7/15 890 700 = 1/2 270 100

Quina (5 dezenas)

P5 = C7,5 . C43,1/ C50,6 = 21 . 43/15 890 700 = 903/15 890 700 = 1/17 598

Quadra (4 dezenas)

P4 = C7,4 . C43,2/C50,6 = 35 . 903/15 890 700 = 31 605/15 890 700 = 1/503


Cartão com 8 dezenas

Sena (6 dezenas)

P6 = C8,6/C50,6 = 28/15 890 700 = 1/567 525

Quina (5 dezenas)

P5 = C8,5 . C42,1/ C50,6 = 56 . 42/15 890 700 = 2 352/15 890 700 = 1/6 756

Quadra (4 dezenas)

P4 = C8,4 . C42,2/C50,6 = 70 . 861/15 890 700 = 60 270/15 890 700 = 1/264


Cartão com 9 dezenas

Sena (6 dezenas)

P6 = C9,6/C50,6 = 84/15 890 700 = 1/189 175

Quina (5 dezenas)

P5 = C9,5 . C41,1/ C50,6 = 126 . 41/15 890 700 = 5 166/15 890 700 = 1/3 076

Quadra (4 dezenas)

P4 = C9,4 . C41,2/C50,6 = 126 . 820/15 890 700 = 103 320/15 890 700 = 1/154

Cartão com 10 dezenas

Sena (6 dezenas)

P6 = C10,6/C50,6 = 210/15 890 700 = 1/75 670

Quina (5 dezenas)

P5 = C10,5 . C40,1/ C50,6 = 252 . 40/15 890 700 = 10 080/15 890 700 = 1/1 576

Quadra (4 dezenas)

P4 = C10,4 . C40,2/C50,6 = 210 . 780/15 890 700 = 163 800/15 890 700 = 1/97

Cartão com 11 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C11,6/C50,6 = 462/15 890 700 = 1/34 395

Quina (5 dezenas):

P5 = C11,5 . C39,1/ C50,6 = 462 . 39/15 890 700 = 18 018/15 890 700 = 1/882

Quadra (4 dezenas):

P4 = C11,4 . C39,2/C50,6 = 330 . 741/15 890 700 = 244 530/15 890 700 = 1/65

Cartão com 12 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C12,6/C50,6 = 924/15 890 700 = 1/17 198

Quina (5 dezenas):

P5 = C12,5 . C38,1/ C50,6 = 792 . 38/15 890 700 = 30 096/15 890 700 = 1/528

Quadra (4 dezenas):

P4 = C12,4 . C38,2/C50,6 = 495 . 703/15 890 700 = 347 985/15 890 700 = 1/46
Cartão com 13 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C13,6/C50,6 = 1 716/15 890 700 = 1/9 260

Quina (5 dezenas):

P5 = C13,5 . C37,1/ C50,6 = 1 287 . 37/15 890 700 = 47 619/15 890 700 =1/334

Quadra (4 dezenas):

P4 = C13,4 . C37,2/C50,6 = 715 . 666/15 890 700 = 476 190/15 890 700 = 1/34

Cartão com 14 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C14,6/C50,6 = 3003/15 890 700 = 1/5 292

Quina (5 dezenas):

P5 = C14,5 . C36,1/ C50,6 = 2 002 . 36/15 890 700 =72 072/15 890 700 =1/220

Quadra (4 dezenas):

P4 = C14,4 . C36,2/C50,6 = 1 001 . 630/15 890 700 =630 630/15 890 700 = 1/25

Cartão com 15 dezenas

Sena (6 dezenas):

P6 = C15,6/C50,6 = 5 005/15 890 700 =1/3 175

Quina (5 dezenas):

P5 = C15,5 . C35,1/ C50,6 =3 003 . 35/15 890 700 = 105 105/15 890 700 = 1/151

Quadra (4 dezenas):

P4 = C15,4 . C35,2/C50,6 = 1 365 . 595/15 890 700 = 812 175/15 890 700 = 1/20




DUPLA SENA

Quantidade de cartões que podem ser formados com 25 dezenas pares e 25 dezenas ímpares.

Quantidade de resultados possíveis: C50,6 = 15 890 700

0 par e 6 impares: C25,0 . C25,6 = 1 . 177 100 = 177 100

1 par e 5 impares: C25,1 . C25.5 = 25 . 53 130 = 1 328 250

2 pares e 4 impares: C25,2 , C25,4 = 300 . 12 650 = 3 795 000

3 pares e 3 impares: C25.3 . C25,3 = 2 300 . 2 300 = 5 290 000

4 pares e 2 impares: C25,4 . C25,2 = 12 650 . 300 = 3 795 000

5 pares e 1 impar: C25,5 . C25,1 = 53 130 . 25 = 1 328 250

6 pares e 0 impar: C25,6 . C25,0 = 177 100 . 1 = 177 100


Note que: 177 100 + 1 328 250 + 3 795 000 + 5 290 000 + 3 795 000 + 1 328 250 + 177 100 = 15 890 700


QUINA

Segundo as probabilidades matemáticas, as chances de acertar na Quina são:

Cartão com 5 dezenas

Quina (5 dezenas):

P5 = 1/C80,5 = 1/24 040 016

Quadra (4 dezenas):

P4 = C5,4 . C75,1/ C80,5 = 5 . 75/24 040 016 = 375/24 040 016 = 1/64 106

Terno (3 dezenas):

P3 = C5,3 . C75,2/ C80,5 = 10 . 2 775/24 040 016 = 27 750/24 040 016 = 1/866

Cartão com 6 dezenas

Quina (5 dezenas):

P5 = C6,5/ C80,5 = 6/24 040 016 = 1/4 006 669

Quadra (4 dezenas):

P4 = C6,4 . C74,1/ C80,5 = 15 . 74/24 040 016 = 1 110/24 040 016 = 1/21 658

Terno (3 dezenas):

P3 = C6,3 . C74,2/ C80,5 = 20 . 2 701/24 040 016. = 54 020/24 040 016 = 1/445


Cartão com 7 dezenas

Quina (5 dezenas):

P5 = C7,5/ C80,5 = 21/24 040 016 = 1/1 144 763

Quadra (4 dezenas):

P4 = C7 ,4 . C73,1/ C80,5 = 35 . 73/24 040 016 = 2 555/24 040 016 = 1/9 409

Terno (3 dezenas):

P3 = C7,3 . C73,2/ C80,5 = 35 . 2 628/24 040 016 = 91 980/24 040 016 = 1/261


QUINA

Quantidade de cartões que podem ser formados com 40 dezenas pares e 40 dezenas ímpares

Quantidade de resultados possíveis: C80,5 = 24 040 016


0 par e 5 impares: C40,0 . C40,5 = 1 . 658 008 = 658 008

1 par e 4 impares: C40,1 . C40,4 = 40 . 91 390 = 3 655 600

2 pares e 3 impares: C40,2 . C40,3 = 780 . 9 880 = 7 706 400

3 pares e 2 impares: C40,3 . C40,2 = 9 880 . 780 = 7 706 400

4 pares e 1 impar: C40,4 . C40,1 = 91 390 . 40 = 3 655 600

5 pares e 0 impar: C40,5 . c40,0 = 658 008 . 1 = 658 008


Note que: 658 008 + 3 655 600 + 7 706 400 + 7 706 400 + 3 655 600 + 658 008 = 24 040 016

LOTOFÁCIL

Segundo as probabilidades matemáticas, fazendo a aposta única (marcando 15 dezenas), as chances de acertar na Lotofácil são:

15 dezenas

P15 = 1/C25,15 = 1/3 268 760

14 dezenas

P14 = C15,14 . C10,1/ C25,15 = 15 . 10/3 268 760 = 150/3 268 760 = 1/21 791

13 dezenas

P13 = C15,13 . C10,2/ C25,15 = 105 . 45/3 268 760 = 4 725/3 268 760 = 1/691

12 dezenas

P12 = C15,12 . C10,3/ C25,15 = 455 . 120/3 268 760 = 54 600/3 268 760 = 1/59

11 dezenas

P11 = C15,11 . C10,4/ C25,15 = 1 365 . 210/3 268 760 =286 650/3 268 760 = 1/ 11


LOTOFÁCIL

Quantidade de cartões que podem ser formados com 12 dezenas pares e 13 dezenas ímpares

Quantidade de resultados possíveis: C25,15 = 3 268 760



2 pares e 13 ímpares: C12,2 . C13,13 = 66 . 1 = 66

3 pares e 12 ímpares: C12,3 . C13,12 = 220 . 13 = 2 860

4 pares e 11 ímpares: C12,4 . C13,11 = 495 . 78 = 38 610

5 pares e 10 ímpares: C12,5 . C13,10 = 792 . 286 = 226 512

6 pares e 9 ímpares: C12,6 . C13,9 =924 . 715 = 660 660

7 pares e 8 ímpares: C12,7 . C13,8 = 792 . 1 287 = 1 019 304

8 pares e 7 ímpares: C12,8 . C13,7 = 495 . 1 716 = 849 420

9 pares e 6 ímpares: C12,9 . C13,6 = 220 . 1 716 = 377 520

10 pares e 5 ímpares: C12,10 . C13,5 = 66 . 1 287 = 84 942

11 pares e 4 ímpares: C12,11 . C13,4 = 12 . 715 = 8 580

12 pares e 3 ímpares: C12,12 . C13,3 = 1 . 286 = 286

Note que: 66 + 2 860 + 38 610 + 226 512 + 660 660 + 1 019 304 + 849 420 + 377 520 + 84 942 + 8 580 + 286 = 3 268 760



CRONOGRAMA (PLANO) DE ATIVIDADES (MENSAL E SEMANAL) MODALIDADE: PRESENCIAL
CARGA HORÁRIA: 60 h/a
PERÍODO TOTAL DE EXECUÇÃO DO PROJETO: 3 MESES

JUNHO/2010
01.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória
-Fatorial de um número natural (definição e exemplos);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo fatorial de um número natural.

08.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Análise Combinatória (término):
-Combinações simples (definição e fórmula de combinações simples);
-Resolução de problemas e de testes de vestibulares envolvendo combinações simples.

15.06.2010 (4 h/a) - Aula introdutória de Probabilidade:
-Elementos do estudo das probabilidades (experimento aleatório, espaço amostral e evento);
-Probabilidade.
Lotofácil
22.06.2010 (4 h/a):
-Regulamento da lotofácil;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a lotofácil (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na lotofácil.
29.06.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil.

JULHO/2010
06.07.2010 (4 h/a): Elaboração dos cálculos da lotofácil (término).

Mega sena

13.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da mega sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a mega sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na mega sena.

14.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.

20.07.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena (término).

Quina

27.07.2010 (4 h/a):
-Regulamento da quina;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a quina (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na quina.

AGOSTO/2010
03.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da mega sena.

10.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da quina (término).

Dupla sena
17.08.2010 (4 h/a):
-Regulamento da dupla sena;
-Destinação social dos recursos arrecadados com a dupla sena (esporte, cultura, etc);
-Como calcular as probabilidades de se ganhar na dupla sena.

24.08.2010 (4 h/a):

-Elaboração dos cálculos da dupla sena.
31.08.2010 (4 h/a):
-Elaboração dos cálculos da dupla sena (término).



CRONOGRAMA DE ATIVIDADES (À DISTÂNCIA)
CARGA HORÁRIA: 20 h/a

JULHO/2010
01.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da lotofácil, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).

08.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da mega sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).

15.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da quina, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).

22.07.2010 (4 h/a):
-Fazer o download (no site da Caixa Econômica Federal) de todos os resultados anteriores da dupla sena, e em seguida fazer um estudo estatístico das dezenas (as dezenas que saem mais, as que saem menos, quantas dezenas pares saíram até o último sorteio, quantas dezenas ímpares saíram até o último sorteio, coluna de números que mais sai, coluna de números que menos saem, etc.).

29.07.2010 (4 h/a):
-Pesquisar (no Google) no mínimo 5 sites especializados em loterias.
-Pesquisar (no Golgle) alguns softwares usados para combinar números e gerar apostas das loterias da Caixa citadas aqui.


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] MACHADO, Antônio dos Santos. Temas e Metas, vol. 3. Atual Editora, 2000.
[2] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações, ensino médio, vol. 2; 2ª ed. Ática, 2001.
[3] HAZZAN, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 5; 6ª ed. Atual Editora, 2000.